Нахождение числа всех подмножеств данного множества

Если задано некоторое множество А, то можно рассматривать новое множество М (А) – множество всех его подмножеств.

Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество А = {é}?

По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .

Таким образом, одноэлементное множество А = {é} имеет 2 подмножества.

Пример 2. Сколько всего подмножеств имеет двухэлементное множество А = {а, в}?

По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .

Одноэлементные подмножества: {а}, {в}.

Таким образом, двухэлементное множество А = {а, в} всего имеет 4 подмножества.

Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет трехэлементное множество А = {, ○, ◊}?

По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .

Одноэлементные подмножества: {}, {○}, {◊}.

Двухэлементные подмножества: {, ○}, {, ◊}, {○, ◊}.

Таким образом, трехэлементное множество А = {, ○, ◊} всего имеет 8 подмножеств.

Пример 4. Сколько всего подмножеств имеет четырехэлементное множество А = {а, в, с, d}?

По свойствам отношения включения, имеем Æ А и А .

Одноэлементные подмножества: {а}, {в}, {с}, {d}. Двухэлементные подмножества: {а, в}, {а, с}, {a, d}, {в, с}, {в, d}, {с, d}. Трехэлементные подмножества: {а, в, с}, {a, в, d}, {а, с, d}, {в, с, d}.

Таким образом, четырехэлементное множество всего имеет 16 подмножеств.

Нетрудно заметить, что с увеличением количества элементов множества А, число всех его подмножеств значительно увеличивается. Возникает вопрос: сколько подмножеств имеет множество из n – элементов?

Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.

Теорема 5. Конечное множество, содержащее n элементов, имеет 2 ^п подмножеств, то есть если А_п = {а₁, а₂,..., a_п }, то п(М(А_п))=2^п.

 Доказательствопроведем, используя метод математической индукции.

1) Путь п = 1, то есть А₁ = { а₁}. Значит, М(А₁)= {Æ, { а₁}}.

В этом случае п(М(А₁)) = 2¹ = 2 что и доказывает справедливость теоремы при п = 1.

2) Пусть п = к, то есть A_к = { а₁, а₂,..., a_к }.

Предположим, что п(М(A_к)) = 2 , то есть множество A_к имеет 2 подмножеств.

3) Докажем, что тогда множество A_{к+ 1}, имеет 2 подмножеств. В самом деле, если к элементам множества A_к, содержащего к элементов, добавить еще один элемент a_к+1, то к имеющимся 2 подмножествам добавятся еще 2 новых подмножества, и, следовательно, множество A_{к+ 1,} содержащее к + 1 элементов, будет иметь 2 + 2 = 2× 2 = 2 подмножеств.

Таким образом, п(М(A_{к+ 1} )) = 2 .

На основании метода математической индукции можно сделать вывод, что Теорема. 5 справедлива для любого натурального числа п. Теорема доказана.