Рассмотрим некоторые примеры для иллюстрации приемоввычисления и применения энтропии

1) Основное уравнение термодинамики. Оно представляет собой объединение энтропии с первым началом:

(3.55)

Это уравнение имеет многочисленные применения.

2) Энтропия идеального газа. Пусть начальное и конечное состояния 1 и 2 газа определяются параметрами , , , . Элементарное приращение энтропии газа с учетом того, что и , определяется как:

(3.56)

Взяв дифференциал логарифма от , получим:

(3.57)

И формуле (3.56) можно придать симметричный вид:

(3.58)

где учтено, что . Проинтегрировав последнее выражение, получим в результате:

(3.59)

3) Приращение энтропии при необратимом процессе между двумя равновесными состояниями 1 и 2. Непосредственно считать энтропию по необратимому процессу совершенно невозможно. Но поскольку энтропия – функция состояния, можно провести между состояниями 1 и 2 какой-нибудь обратимый процесс, который хотя и не имеет с реальным необратимым процессом ничего общего, но позволяет провести необходимые расчеты. Обычно выбирают такой обратимый процесс, по которому расчет проще.

Рассмотрим систему, состоящую из двух теплоизолированных сосудов (рис. 3.4).

Рис.3.4. Система теплоизолированных сосудов

Пусть в одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных трубкой с закрытым вентилем находится один моль идеального газа, а в другом сосуде – вакуум. Объемы сосудов V₁ и V₂. Вентиль открыли, газ заполнил оба сосуда и пришел в состояние термодинамического равновесия. Найдем приращение энтропии.

Ясно, что процесс расширения газа необратимый. При этом процесс шел без теплообмена () и без совершения работы (). Значит по первому началу термодинамики , то есть конечная температура равна начальной.

Это позволяет провести расчет приращения энтропии по обратимому изотермическому процессу:

4) Возрастание энтропии при смешении газов. Пусть в двух половинах теплоизолированного сосуда объемом находятся два идеальных газа 1 и 2, разделенные перегородкой. Температура, давление, и число молей в обеих половинах одинаково. После удаления перегородки начинается необратимый процесс смешения газов. В конце концов, он прекращается, и система приходит в равновесное состояние, в котором оба газа равномерно перемешаны. Температура в конечном состоянии будет такая же, так как система теплоизолирована и газы идеальные.

Используя результат предыдущего примера, находим, что при приращение энтропии каждого газа , то есть суммарное приращение энтропии системы:

Приращение что естественно, поскольку процесс смешения существенно необратимый (обратный процесс – саморазделение смечи двух газов – совершенно невероятен).

Последняя формула приводит к выводу, называемому парадоксом Гиббса. Допустим, что газы 1 и 2 тождественны. Тогда после удаления перегородки энтропия увеличивается, хотя ясно, что конечное состояние системы ничем не отличается от начального. В этом суть парадокса.

Для понимания описанной ситуации существенно заметить, что последняя формула получена только для случая, когда газы 1 и 2 различны. Для тождественных газов приведенные рассуждения не применимы. Для них .

Таким образом, формула справедлива только при смешении различных газов, хотя бы это различие и было сколь угодно малым.

Возникающая здесь трудность с предельным переходом в действительности не существует, поскольку число различных типов атомов конечно и такой предельный переход просто невозможен.

5. Энтропия и вероятность. Если макросистема находится в неравновесном состоянии, то она самопроизвольно будет переходить в состояние более вероятное – равновесное. Вместе с тем, согласно второму началу термодинамики все самопроизвольные процессы в замкнутых макросистемах сопровождаются возрастанием энтропии. Поэтому можно ожидать, что между энтропией макросистемы в каждом состоянии и вероятностью того же состояния должна существовать определенная связь. Эта идея, высказанная Больцманом, оправдалась и оказалась необычайно плодотворной.

Для нахождения этой связи рассмотрим необратимый процесс расширения идеального газа в пустоту. (Рис.3.5)

Пусть данный газ первоначально находится в объеме теплоизолированного сосуда объемом . От остальной части сосуда он отделен перегородкой

Перегородку практически мгновенно перемещают из положения 1 в 2, газ расширяется в пустоту до объема V₂ и приходит в равновесное состояние.

В данном случае (газ идеальный) работу газ не совершает () переданное газу тепло , следовательно, по первому началу приращение внутренней энергии , то есть температура конечного и начального состояний одинакова.

Поскольку энтропия – функция состояния, то ее приращение в процессе можно вычислить по обратимому процессу, например, изотермическому.

0 V₁ V₂ V₀

Рис.3.5. Схема для иллюстрации вероятностной природы энтропии.

В изотермическом процессе

и

(3.60)

N – число молекул

Теперь обратимся к вероятностям.

В рассмотренном процессе распределение по скоростям в начальном и конечном состояниях одинаково: оно зависит только от температуры, которая не изменилась. Пространственное же распределение молекул стало более «свободным», а, значит и более вероятным. В самом деле, вероятность нахождения одной молекулы газа в объеме равна, очевидно, . Вероятность же всех молекул собраться в объеме равна . Обозначим эту вероятность как Соответственно, - как . Тогда отношение этих вероятностей

(3.61)

И приращение энтропии можно записать как

(3.62)

Поскольку вероятность макросистемы пропорциональна ее статистическому весу, последнюю формулу представим как

(3.63)

И приходим к знаменитой формуле Больцмана:

(3.64)

Заметим, что приведенные здесь рассуждения не претендуют на вывод формулы (3.64), а представляют собой скорее некоторые пояснения. Строгий вывод этой формулы дается в теоретической физике, где показывается, что (3.64) относится не только к равновесным состояниям, но и неравновесным.

Теперь предположим, что макросистема состоит из двух, практически не взаимодействующих подсистем, одна из которых находится в состоянии 1 с энтропией ,и статистическим весом , а другая - в состоянии 2 с энтропией ,и статистическим весом .

Число способов (микросостояний), которыми может реализоваться рассматриваемое состояние макросистемы равно произведению чисел способов, то есть и , которыми могут быть осуществлены состояния каждой из подсистем в отдельности.

(3.65)

Отсюда следует, что , как и должно быть, поскольку энтропия – величина аддитивная.

Принцип возрастания энтропии со статистической точки зрения привел Больцмана к фундаментальному выводу: