Расчет надежности АСОИУ методом марковских процессов

Методом марковских процессов (ММП) называется метод расчета показателей надежности по линейным дифференциальным уравнениям типа массового обслуживания. Предполагается, что процессы отказов и восстановления систем является марковскими случайными процессами. Основными допущениями ММП являются: - законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления каждого элемента, входящего в системы, являются экспоненциальными, - функционирование системы контролируется непрерывно, т.е. момент отказа обнаруживается немедленно после его возникновения, - в процессе ремонта происходит полное восстановление отказавших элементов, т.е. интенсивности отказов элементов не зависят от числа восстановлений, - восстановление элемента начинается немедленно после его отказа при наличии свободной ремонтной бригады, обслуживающей данный элемент; при отсутствии свободной ремонтной бригады отказавший элемент становится в очередь на обслуживание. ММП позволяет рассчитать надежность невосстанавливаемых и восстанавливаемых, нерезервированных и структурно-резервированных системах при любом состоянии резерва (ненагруженном, облегченном, нагруженном), при любом количестве ремонтных бригад и произвольной дисциплине обслуживания. Данный метод позволяет вычислять: вероятность безотказной работы P(t), функцию готовности Кг(t), среднюю наработку до отказа T1, коэффициент готовности Кг, наработку на отказ Т0, среднее время восстановления `Тв. Однородный марковский процесс. Пусть X(t) (t³0) дискретный случайный процесс с непрерывным временем. Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любого n=1, 2, 3,..., любых моментов t1, t2,…, tn, tn+1, удовлетворяющих условиям: 0 £ t1 £ t2 £…£ tn, £ tn+1 и любых возможных значений случайного процесса i1, i2,…, in, in+1 выполняется следующее равенство для условных вероятностей: (1). Марковские процессы являются математической схемой, пригодной для описания эволюции физической системы, которая в любой момент времени может находиться лишь в одном из состояний i1, i2,…, и для которой при заданном состоянии в данный момент времени дополнительная информация о поведении этой системы в предыдущий момент времени не влияет на условную вероятность этой системы, находиться в состоянии in+1 в последующие моменты времени. Другими словами, процесс Маркова X(t) обладает следующим свойством: если известно X(tn), то течение процесса после момента tn в вероятностном смысле не зависит от его течения до момента tn (коротко: если известно настоящее, то будущее не зависит от прошедшего).
Процесс Маркова называется однородным, если для любых возможных значений i и k и произвольного t ³ 0 вероятность события X(tn+t) при условии X(t)=i не зависит от t. Условная вероятность называется вероятностью перехода из состояния i в состояние k за время t: (2). Для любых состояний i и k вероятности перехода обладают свойствами: (3). Последнее соотношение, называемое иногда уравнением Чэпмена-Колмогорова, лежит в основании всех исследований о процессах Маркова. В теории надежности обычно исследуются случайные процессы двух видов: нарушений работоспособности и восстановлений работоспособности системы. Если предположить, что все распределения времени безотказной работы и времени восстановления отдельных элементов системы являются экспоненциальными, то случайный процесс X(t), характеризующий число отказов или число восстановлений, является однородным марковским процессом. Инженерные расчеты показателей надежности ММП без привлечения ЭВМ могут быть выполнены лишь для сравнительно небольших структур системы; такие структуры называются типовыми. Для систем с большим числом состояний появляются вычислительные трудности, связанные, с решением систем дифференциальных или алгебраических уравнений высокого порядка. Расчет показателей надежности проводится в следующей последовательности: формулировка понятия отказа системы и представление исходных данных, построение графа состояний, составление системы дифференциальных уравнений, определение вероятностей состояний системы, вычисление и показателей надежности системы. Исходными данными для расчета показателей надежности являются: надежностно-функциональная схема (НФС) расчета надежности АСУТП, интенсивности отказов и восстановлений каждого элемента системы, количество ремонтных бригад, приоритет обслуживания, начальное состояние процесса функционирования системы, время непрерывной работы системы. Граф состояний строится в следующем порядке: 1) наметить в виде горизонтальных линий уровни графа и пронумеровать их сверху вниз, считая верхний уровень нулевым; 2) возможным состояниям системы поставить в соответствие узлы графа, располагаемые на определенных уровнях в виде точек (или кружков); на 0-м уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда все элементы системы исправны; на 1-м уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказал любой один элемент системы; на 2-м уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказали любые два элемента системы, и т.д. 3) при наличии непосредственного перехода из состояния в состояние соответствующие узлы соединяются линиями-ветвями графа, в ветви ставятся интенсивности отказов или интенсивности восстановлений элементов, из-за которых осуществляются переходы из состояния в состояние; направления переходов указываются стрелками; в случае резервированных систем с одинаковыми интенсивностями отказов и восстановлений элементов узлы графа могут объединяться, отказовые состояния графа помечаются, например, крестами. Если вычисляются P(t) и T0, то в графе отсутствуют ветви переходов из всех отказовых состояний. Это отмечается пунктирной линией, называемой экраном, перечеркивающей соответствующую ветвь. Составление системы дифференциальных уравнений. По виду графа формально записывается система линейных дифференциальных уравнений для вероятностей pk(t) пребывания системы в момент времени t в состоянии k. В левую часть уравнения записывается производная по времени p’k(t), в правую часть - сумма произведений интенсивностей переходов из всех соседних состояний в состояние k, умноженных на соответствующие вероятности, минус сумма произведений интенсивностей переходов из состояния k во все соседние состояния, умноженных на вероятность pk(t) Проверяется правильность составления системы дифференциальных уравнений: если сумма правых частей равна нулю, то считается, что система составлена правильно. Для определения вероятности безотказной работы следует ограничиться составлением уравнений только для исправных состояний системы. Определение вероятностей состояний системы. Определение вероятности безотказной работы. Определение средней наработки до отказа. Определение функции готовности. Определение коэффициента готовности. Определение наработки на отказ. Определение среднего времени восстановления. Выше рассматривалась методика расчета коэффициента готовности, наработки на отказ и среднего времени восстановления системы, представляющих собой основное (последовательное) соединение типовых структур. Каждая типовая структура обслуживается своими ремонтными бригадами и имеет свою дисциплину обслуживания.