Значение Шепли

Идея Шепли — определить математическое ожидание платежей, получаемых игроком от коалиций, в которые он может вступить, и, объединяя ожидания всех игроков в вектор, тем самым получить разумный дележ.

Значением игры по Шепли (вектором Шепли) называется такой дележ, при котором каждый игрок получает арифметическое среднее по всем получаемым им предельным выигрышам:

i-тый игрок получает выйгрыш:

Число есть вклад игрока i при присоединении к коалиции S, а весовой множитель представляет собой вероятность образования коалиции S.

Ядро

Дележ x нестабилен из-за коалиции S если суммарный выигрыш игроков коалиции S меньше того, что игроки могут получить действуя самостоятельно. Мы также говорим, что дележ нестабилен, если он нестабилен из-за какой-либо коалиции, иначе дележ называется стабильным. Множество всех стабильных дележей составляет ядро кооперативной игры.

Существует три класса ядра.

N-ядро (однозначный дележ) — решение кооперативных игр, основанное на минимизации степени неудовлетворённости выигрышем подмножеств участников игры (коалиций). Определяет однозначный дележ.

K-ядро (многозначный дележ) — принцип оптимальности в кооперативных играх, основанный на максимизации излишков, получаемых игроками от вступления в коалицию.

Пусть задана кооперативная игра с характеристической функцией и — эффективный вектор выигрышей. Максимальный излишек игрока над игроком по отношению к определяется как

.

Максимальный излишек представляет собой наибольший выигрыш, который игрок может получить, войдя в какую-либо частичную коалицию без кооперации с игроком , в предположении, что остальные игроки в составе коалиции удовлетворены выигрышами, которые доставляет им распределение . Он представляет собой способ измерения сравнительной переговорной силы игроков. K-ядром кооперативной игры называется множество дележей , удовлетворяющих условиям:

С-ядро (многозначный дележ) — принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков(наличию переговорной силы у одних игроков над другими внутри коалиции), то есть множество векторов , таких, что:

и для любой коалиции выполнено:

,

где — характеристическая функция игры.

;

для всех пар игроков .

Интуитивно, игрок имеет большую переговорную силу, чем игрок при дележе , если , но игрок защищен от угроз игрока , если , так как в этом случае он может получить выигрыш без кооперации. K-ядро содержит все дележи, при которых ни один игрок не имеет такой переговорной силы ни над каким другим игроком.