Предмет теории игр. Основные понятия

При решении ряда практических задач исследования операций (в области экономики, военного дела и т. д.) приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации мы будем называть конфликтными ситуациями.

Примеры конфликтных ситуаций весьма многообразны. Любая ситуация, складывающаяся в ходе военных действий, принадлежит к конфликтным: каждое решение в этой области должно приниматься с учетом сознательного противодействия разумного противника. К той же категории принадлежат и ситуации, возникающие при выборе системы вооружения, способов его боевого применения и вообще при планировании боевых операций. Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии капиталистической конкуренции) также принадлежит к конфликтным; в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия, тресты, монополии и т. д. Встречаются конфликтные ситуации также в судопроизводстве, спорте и в других областях человеческой деятельности.

Необходимость анализировать такие ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат — теорию игр. Теория игр есть математическая теория конфликтных ситуаций. Задача этой теории — выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников конфликта.

Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и ее анализ затруднен наличием многих привходящих, несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, надо отвлечься от этих второстепенных факторов и построить упрощенную, схематизированную модель ситуации. Такую модель мы будем называть игрой.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов — «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т. д.). Все эти игры носят характер соревнования, происходящего по известным правилам и заканчивающегося «победой» (выигрышем) того или другого игрока.

Такие формализованные игры представляют собой наиболее удобный материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр.

Это отразилось и на ее терминологии: стороны, участвующие в конфликте, условно именуются «игроками», исход конфликта — «выигрышем» и т. д.

В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников; в первом случае игра называется «парной», во втором — «множественной». Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Множественная игра с двумя постоянными коалициями обращается в парную. Наибольшее практическое значение имеют парные игры; мы ограничимся рассмотрением только таких игр.

Пусть имеется парная игра И, в которой участвуют дваигрока А и В с противоположными интересами Под «игрой» будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий или «ходов» сторон А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть четко сформулированы правила игры, т. е. система условий, регламентирующая:

— возможные варианты действий игроков,

— объем информации каждой стороны о поведении другой,

— результат (исход) игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.

Этот результат (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его числом (например, в шахматной игре выигрышу приписать значение 1, проигрышу —0, ничьей — 1/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, т. е. сумма выигрышей сторон равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы противников прямо противоположны. Здесь мы будем рассматривать только такие игры.

Обозначим а выигрыш игрока А, а b — выигрыш игрока В в игре с нулевой суммой. Так как то при анализе такой игры нет необходимости рассматривать оба эти числа — достаточно рассматривать выигрыш одного из игроков; пусть это будет, скажем, А. В дальнейшем мы, для удобства изложения, сторону А будем условно именовать «мы», а сторону В - «противник».

Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или «ходов». Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление

Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление (пример — любой ход в шахматной игре). Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов.

Некоторые игры состоят только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр содержит как личные, так и случайные ходы.

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы; ее задача — дать указания игрокам при выборе их личных ходов, т. е. рекомендовать им определенные «стратегии».

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Понятие стратегии — одно из основных в теории игр; остановимся на нем несколько подробнее. Обычно, принимая участие в игре, игрок не следует каким-то жестким, фиксированным правилам: выбор (решение) при каждом личном ходе принимается им в ходе игры, в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы электронные вычислительные машины).

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные».

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник по меныией мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр все рекомендации вырабатываются исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются просчеты и ошибки игроков, неизбежные в каждой конфликтной ситуации, а также элементы азарта и риска.

Теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному-единственному числу. В большинстве конфликтных ситуаций при выборе разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых параметров — показателей эффективности.

Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии.