Поток событии. Простейший поток и его свойства

При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто приходится встречаться с так называемыми «потоками событий».

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

Примерами могут быть:

— поток вызовов на телефонной станции;

— поток включений приборов в бытовой электросети;

— поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;

— поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

— поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

Рис. 4.15

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представлять себе процесс так, как будто переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т. д.) Поэтому имеет смысл рассмотреть подробнее потоки событий и их свойства.

Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени (рис. 4.15). Пользуясь таким изображением, не надо забывать, что положение каждой точки на оси абсцисс случайно.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай.

При исследовании операций чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых и моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны.

В данном параграфе мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 4.15) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Рассмотрим подробнее эти три свойства потоков и посмотрим, каким физическим условиям они соответствуют и за счет чего могут нарушаться.

Стационарность потока означает его однородность по времени: вероятностные характеристики такого потока не должны меняться в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий — среднее число событий в единицу времени — для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно — нет, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые мы называем «стационарными» — в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.

Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если, по условиям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Если интервал мал по сравнению со средним интервалом между поездами, такое нарушение несущественно, но если интервал сравним с, его приходится учитывать.

Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака. Поток атак истребителей по бомбардировщику, находящемуся над вражеской территорией, ординарен, если они атакуют цель поодиночке, и не ординарен, если они идут в атаку парами или тройками.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий) случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной: он представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность случайных величин — чисел событий в каждом пакете (рис. 4.16), где — значения, принятые случайной величиной X в первом, втором и т. д. пакетах.

Рис. 4.16

Пример неординарного потока событий со случайным числом событий в пакете — поток товарных вагонов, прибывающих на сортировочную станцию («пакетом» является поезд).

Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны между собой жесткой функциональной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ процессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков складывается.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность к (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:

тогда как для простейшего потока

Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона. А именно, число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

Рис. 4.17

Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси где наблюдается поток событий, некоторый участок времени длины (см. рис. 4.17), начинающийся в момент и заканчивающийся в момент. Нетрудно доказать (доказательство дается во всех курсах теории вероятностей), что вероятность попадания на этот участок ровно событий выражается формулой:

где а — среднее число событий, приходящееся на участок.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока величина а равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:

т. е. не зависит от того где на оси взят участок. Для нестационарного пуассоновского потока величина а выражается формулой:

и, значит, зависит от того, в какой точке (0 начинается участок.

Рассмотрим на оси простейший поток событий с интенсивностью к (рис. 4.18).

Нас будет интересовать интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке. Очевидно, Т есть величина случайная; найдем ее закон распределения. Сначала найдем функцию распределения:

т. е. вероятность того, что величина Т примет значение, меньшее, чем t. Отложим от начала интервала Т (точки Q) отрезок и найдем вероятность того, что интервал Т будет меньше i. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

Рис. 4.18

Вероятность найдем по формуле (1.4), полагая

откуда функция распределения величины Т будет:

Чтобы найти плотность распределения случайной величины Т, продифференцируем выражение (4.2) по

Закон распределения с плотностью (4.3) называется показательным (или экспоненциальным). График его имеет вид, представленный на рис. 4.19. Величина К называется параметром показательного закона.

Показательный закон распределения, как мы увидим дальше, играет большую роль в теории марковских случайных процессов.

Найдем числовые характеристики случайной величины Т — математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию Имеем:

Интегрируя по частям, получим:

Дисперсию величины Т найдем через второй начальный момент:

откуда, снова интегрируя по частям, получим:

Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Т:

Итак, для показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны друг другу и обратны параметру.

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Таким образом, исследуя структуру простейшего потока событий, мы пришли к заключению: промежуток времени Т между соседними событиями в простейшем потоке распределен по показательному закону, его среднее значение и среднее квадратическое отклонение равны где к — интенсивность потока.

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка Т уже не будет показательным; вид этого закона будет зависеть, во-первых, от того, где на оси расположено первое из событий, и, во-вторых, от вида зависимости характеризующей переменную интенсивность потока. Однако если меняется сравнительно медленно и его изменение за время между двумя событиями невелико, то закон распределения промежутка времени между событиями можно приближенно считать показательным (4.3), полагая в этой формуле величину к равной среднему значению на том участке, который нас интересует.

В заключение данного параграфа выведем выражение для так называемого «элемента вероятности появления события».

Рассмотрим на оси (V простейший поток событий с интенсивностью к и элементарный участок прилежащий в точке t (рис. 4.20).

Найдем вероятность того, что на участке появится какое-то событие потока, т. е. участок не будет «пуст». Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке более чем одного события можно пренебречь. Обозначим вероятность того, что на участке не будет события, — вероятность того, что на нем появится одно событие.

В силу ординарности потока

а вероятность вычисляем по формуле (4.1):

откуда

Разлагая в ряд по степеням и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим:

Отсюда

т. е. вероятность появления на элементарном участке времени какого-то события потока приближенно равна где — интенсивность потока. Эту вероятность мы будем называть «элементом вероятности появления события».

Очевидно, такая же формула будет справедлива и для нестационарного пуассоновского потока, с той разницей, что величину А нужно брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает участок