Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В XIX веке экономисты высказали предположение о существовании у каждого индивидуума определённого количественного измерителя счастья или полезности – “пользометра”. Единицы измерения этого прибора назвали “утилями” (от английского utility – полезность). Согласно этой модели потребительского поведения каждый потребитель выбирает так товары и услуги, чтобы максимизировать свою полезность в пределах средств, которыми он располагает. Эта идея перенесена на многокритериальные задачи и интенсивно разрабатывается в теории полезности, ставшей самостоятельным направлением прикладной математики.
Применительно к многокритериальной задаче в качестве товаров и услуг выступают критерии, а в качестве потребителя – ЛПР. При этом предполагается существование на множестве значений критериев y 1 ,y 2 ,….,ym скалярной оценки предпочтений ЛПР, называемой полезностью.
Приведём строгое определение этого понятия. Функция U, которая каждой точке Y критериального пространства ставит в соответствие действительное число U (Y),называется функцией полезности (ценности) ЛПР, если
Y¢ ~ Y"Û U (Y')= U (Y"),
Y'ýY"Û U (Y')> U (Y").
Таким образом, функция полезности представляет собой математическую модель предпочтений ЛПР. Если функция полезности известна, то многокритериальная задача сводится к стандартной задаче оптимизации: найти вектор X ÎD, максимизирующий U [Y(X)]. Множество точек критериального пространства, одинаковых по предпочтительности (для которых U (Y )= Const), образует гиперповерхность равного уровня функции полезности. Гиперповерхности равного уровня U (Y) называются кривыми безразличия, а семейство всех кривых безразличия – картой безразличия. Такая терминология связана с тем, что для любых двух альтернатив Y' и Y", лежащих на одной кривой безразличия, U (Y')= U (Y"), т.е. ЛПР всё равно, достигнет он Y ' или Y". Пример карты безразличия некоторой функции полезности и нахождение по ней оптимального решения показаны на рис. 10.4.
Очевидно, что наибольшие затруднения при практическом применении рассматриваемого подхода вызывает построение функции полезности, адекватно отражающей предпочтения ЛПР.
|
В благоприятных случаях удается описывать предпочтения ЛПР функцией полезности, имеющей сравнительно простой вид:
U(y 1 ,y 2 ,...,ym)=F [ U 1 (y 1 ),U 2 (y 2 ),...,Um(ym) ], (10.7)
т.е. многомерная функция определяется через одномерные функции полезности значений одного отдельно взятого критерия. Типичные примеры таких функций для m =2:
U (Y)= C 1 y 1 + С 2 у 2, С 1 >0, С 2 >0,
, >0, >0.
Формализация структуры предпочтений основана на
исследовании возможности взаимной компенсации значений различных критериев. Это проблема замещения по полезности. Возможные замещения на наборе критериев может дать только ЛПР, а выявить их у ЛПР и формально описать - задача аналитика. Далее будем предполагать, что критерии независимы по предпочтению (см. раздел 10.1.3), и рассмотрим простейшие случаи построения U (Y) для m =2.
Предельный коэффициент замещения критерия y 1 на критерий у 2 в точке (, ) равен , если ЛПР согласен уступить единиц критерия y 1 за единиц критерия у 2, где - достаточно малая величина (строго говоря, при 0). В общем случае предельные коэффициенты замещения зависят от значений y 1 и у 2. Возвращаясь к рис.10.4 нетрудно понять, что предельный коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия в точке (, ), взятый с обратным знаком. Отсюда ясно, что определение коэффициентов замещения дает представление о карте безразличия, а следовательно, и о виде функции полезности.
Если коэффициент замещения не зависит от значений y 1 и у 2, то это означает, что кривые безразличия – прямые, имеющие вид
y 1 + y 2 =Const,
а предпочтения ЛПР могут быть представлены функцией
U (Y )=y 1 + y 2. (10.8)
Если предельный коэффициент замещения зависит от значения у 2, но не зависит от y 1, то подходящей составной функцией полезности может быть
U (Y )=y 1 + U 2 (y 2 ). (10.9)
Возможный путь получения U 2 (y 2 ) состоит в следующем. Примем произвольно U 2 ()=0, что дает точку отсчета значений U 2. Тогда U 2 () есть сумма в единицах y 1, которую ЛПР согласен "заплатить" за переход от к . Выявив у ЛПР эти суммы для ряда значений у 2, получим график функции U 2 (y 2 ) как, например, на рис.10.5.
Карта безразличия, соответствующая структуре предпочтений (10.9), имеет вид семейства кривых, которые получаются простым сдвигом по горизонтали (по оси у 1) одной из них. Аналогичный подход применяется и в случае, когда зависит от y 1, но не зависит от у 2.
Из ситуаций, когда коэффициент замещения зависит от значений обоих критериев, рассмотрим самую простую: структура предпочтений ЛПР аддитивна. Обратимся к рис 10.6. Если вместо знака вопроса (?) ЛПР поставит d, т.е. он согласен заплатить d единиц у 1 за увеличение у 2 на с в точке D и это остается в силе при любых значениях а, b, с и d и в любых точках А, В, С и D, образующих прямоугольник, то имеет место условие соответственных замещений.
Доказано, что структура предпочтений аддитивна и, следовательно, описывается функцией полезности вида
U (Y )=U 1 (y 1 )+ U 2 (y 2 ) (10.10)
тогда и только тогда, когда выполняется условие соответственных замещений.
Одна из процедур построения функции (10.10), которую
рассмотрим ниже, использует эквивалентность замещений в разных
диапазонах одного из критериев. Приведем необходимые
определения. Пара () эквивалентна по разности полезности
паре (), где < и < , если для любого исходного
значения критерия у 2 ЛПР согласен "заплатить" одно и то же
количество единиц у 2 за увеличение y1 как от до , так и от
до . Средней по полезности точкой интервала [ ] значений критерия yi называется точка, которая образует
эквивалентные по разности полезности пары [ ] и [ ].
Заметим, что из условия соответственных замещений следует независимость значения средней точки для данного интервала y 1от значений критерия у 2, хотя "плата" за изменение у i (в единицах у 2) будет зависеть от уровня у 2.
Для построения функции полезности предварительно устанавливаем область возможных значений критериев: . Полагая, что структура предпочтений ЛПР аддитивна (на основе соответствующих предварительных исследований), функцию полезности представим в виде
U(y 1 ,y 2 )= 1 U 1 (y 1 )+ 2 U 2 (y 2 ), (10.11)
где
Ui()=0, Ui()= 1, (10.12)
>0, 2 >0 и 1 + 2 = 1. (10.13)
В процедуре отыскания U в виде (10.11), приводимой ниже, одинаковость пар и значения средних точек определяет ЛПР в диалоге с аналитиком.
I.Строим U 1 в следующей последовательности:
-находим среднюю по полезности точку у интервала [ ] и полагаем U 1 (y )=0,5;
-находим среднюю по полезности точку у интервала [у , ] и полагаем U 1 (y )=0.75;
-находим среднюю по полезности точку у интервала [ ] и принимаем U 1 (y )=0,25;
-проверяем согласованность результатов: является ли у средней по полезности точкой интервала [ у , у ]? Если нет, то придется корректировать эти точки до достижения согласованности.
-по пяти определенным точкам (или большему числу, если продолжить дробление интервалов) строится график функции U 1 (y 1 ).
2. Таким же образом находим U 2 (у 2 ).
3. Определяем коэффициенты шкалирования и 2. Для этого выбираем любые две одинаковые по предпочтительности пары (y 1 ,y 2). Пусть, например, это пары () и (). Тогда
U ()= U ()
или
. (10.14)
Значения U 1 и U 2 в точках и определяются по построенным графикам. Добавив к (10.14) равенство (10.13), находим значения и .
Соответствие полученной функции полезности структуре предпочтений ЛПР можно дополнительно проверить, предложив ему несколько пар значений критериев (отличных от и ) с одним значением U. Если ЛПР сочтет их примерно одинаковыми по предпочтительности, то построенная функция приемлема. В противном случае следует повторить 3-й этап процедуры с тем, чтобы уточнить значения и (их можно получить более надежно усреднением по нескольким парам с равной предпочтительностью).
С увеличением размерности критериального пространства трудоемкость построения функции полезности даже в аддитивном виде резко возрастает. А при более сложной структуре предпочтений ЛПР отыскание адекватной U (Y)становится весьма проблематичным.
Несмотря на то что имеется целый ряд хорошо разработанных процедур построения функции полезности (например, Р.Кини и Х.Райфа) рассмотренный подход к решению многокритериальных задач находит ограниченное применение. И прежде всего это связано с необходимостью длительной и напряженной работы с ЛПР. А как известно, руководители - народ занятой, да и далеко не все из них могут высказывать непротиворечивые суждения. Проблема многократно усложняется в ситуациях группового принятия решений. В то же время следует отметить главное достоинство метода: функция полезности наиболее полно и адекватно отражает систему ценностей ЛПР и позволяет относительно просто находить решение, наиболее предпочтительное (и в этом смысле оптимальное) для ЛПР с помощью одной стандартной задачи оптимизации.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1112 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!