Условия оптимальности. Здесь рассмотрим наиболее важные с точки зрения приложений необходимые и достаточные условия оптимальности

Здесь рассмотрим наиболее важные с точки зрения приложений необходимые и достаточные условия оптимальности. Они позволяют строить методы отыскания эффективных решений и способы проверки эффективности найденных решений.

Наиболее общий случай необходимых условий содержит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Y * G и все . Вектор Y * слабо эффективен тогда и только тогда, когда найдутся такие числа , что

(10.1)

Условие не ограничивает применимость теоремы, так как его всегда можно обеспечить добавлением к положительной константы .

При оговариваемых свойствах D и f (X) справедливы теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Пусть D выпукло, а , вогнуты и положительны на D. Тогда решение X * слабо эффективно в том и только в том случае, если существуют такие числа , что

. (10.2)

Теорема 3. Пусть D выпукло, а f вогнуто. Для слабой эффективности точки X ^*ÎD необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , при которых

. (10.3)

Требование вогнутости f существенно, так как его невыполнение может привести к тому, что не для всех слабо эффективных решений найдутся , удовлетворяющие (10.3). Например, для критериев и ( выпукла) на D =[0,1] множество S(X)= D. Максимум функции достигается только на одном из концов интервала [0,1] и поэтому ни при каких неотрицательных и максимизация этой функции не даст слабо оптимальную точку, лежащую внутри D.

Терема 4. Вектор Y ^*ÎG эффективен тогда и только тогда, когда для каждого

, (10.4)

где

¦ > , }. (10.5)

Если Y^*Î G эффективна, то она является единственной в G точкой, удовлетворяющей (10.4) при каждом .

Достаточные условия, приведенные ниже, основаны на свойствах возрастающей функции многих переменных. Поэтому сначала дадим определение такой функции. Числовая функция F (Y), определённая на множестве G, является возрастающей по отношению ³, если из выполнения неравенства Y³Y ^¢ для векторов Y,Y^¢Î G всегда следует справедливость неравенства F (Y) >F (Y^¢). Аналогично, F (Y) – функция, возрастающая по отношению >, если из Y>Y ^¢ всегда следует F (Y )>F (Y^¢).

Теорема 5. Пусть функция F (Y ) определена на множестве G. Для того чтобы точка Y^*Î G была эффективной (слабо эффективной), достаточно, чтобы она являлась точкой максимума на множестве G функции F (Y), возрастающей по отношению ³ (по отношению >).

Теорема легко доказывается от противного. Пусть Y ^*ÎG и

F (Y^*)³ F (Y) для всех Y ÎG. (10.6)

Предположим противное, т.е. что существует Y ^¢ Î G, для которого верно неравенство Y ^¢³Y^*.Так как функция F возрастающая по отношению ³, то противоречит (10.6). Аналогично доказываются достаточные условия слабой эффективности.

Теорема 5 играет важную роль в решении многокритериальных задач. Её применение основано на максимизации возрастающих функций многих переменных. Поэтому целесообразно рассмотреть примеры таких функций.

1). Функция F (Y) = , где , является возрастающей по каждой переменной на числовой оси и потому возрастает по ³ на E ^m. Поэтому любая точка максимума F (Y) на G эффективна. Эта же функция при и хотя бы одном из них положительном является возрастающей по отношению > и, значит, максимизация такой функции на G дает слабо эффективную точку.

m

m

m

2). Функция F (Y )= , при s >0 и >0 является возрастающей по каждой переменной на множестве неотрицательных чисел и потому возрастает по ³ на E _{>= (}т.е. в пространств Е где все >=0). Если же s<0 и >0, то эта функция возрастает по ≥ на Е _> (т.е. в области положительных ). Точка максимума такой функции эффективна.

3).Функция F (Y) , где s >0, >0, а >= , , возрастает по ≥ на G. Поэтому любая её точка максимума на G эффективна. Отсюда, в частности, следует, что минимизация широко применяемой функции дает эффективную точку.

m

m

4). Функция F (Y ) при >0 возрастает по каждой переменной на множестве положительных чисел и поэтому является возрастающей по ≥ на Е _{> .} Если же ≥0 и есть среди них положительные, то эта функция будет возрастающей по отношению > на Е _{> .}

5). Возьмём функцию F (Y) при , . Если для всех i, тои для всех i. Поэтому справедливо неравенство

m

и, значит, приведённая функция возрастает по отношению > на E. Следовательно, любая её точка максимума на G слабо эффективна.