Точность оценок по МНК

Для решения вопроса о точности модели следует указать доверительные интервалы для коэффициентов и искомой регрессии

Границы доверительного интервала для параметра модели при уровне надёжности р определяются по формуле (4.35)

или с учётом (4.32) (4.36)

Это означает, что с вероятностью не менее р истинное значение параметра модели содержится в интервале

, (4.37)

В инженерных расчётах р принимают на уровне р =0.9, 0.95, 0.99 в зависимости от необходимой точности моделей. В предположении нормальности измерительных ошибок и достаточной величины выборки (должно быть ) этим значениям доверительной вероятности (надёжности) соответствуют значения (отсюда, в частности, «правило 3 »).

Аналогично определяется доверительный интервал для выходной переменной модели

(4.38)

Причём рассчитывается по формуле

(4.39)

Поскольку чаще всего интенсивность измерительных ошибок заранее неизвестно, то в формулах (4.36) – (4.38) она заменяется несмещённой оценкой , где (4.40)

Из общих соотношений можно получить формулы для одномерной линейной модели а именно:

(4.41)

Где (4.24)

Из формул видно, что ошибки моделей уменьшаются пропорционально , т.е. для увеличения точности (уменьшения величины доверительного интервала) в 2 раза, необходимо увеличить выборку данных (N) в 4 раза.

Из (4.41) следует также, что ошибки моделей тем меньше, чем меньше измерительные ошибки и чем больше разброс входных данных .

Важно также отметить, что ошибка оценивания выходной переменной у по модели зависит от х, и тем меньше, чем ближе х к среднему значению .

.

.

.

.

.

.

.

Рис. 4.2