Идея метода конечных элементов, создание сетки , библиотеки конечных элементов, ансамблирование, алгоритм применения метода

Ответ:

На микроуровне типичные математические модели (ММ) представлены df уравнениями в частных производных с краевыми условиями. В качестве независимых переменных фигурируют пространственные переменные x,y,z и время t. К этим моделям, еще называемым распределенными, относятся многие уравнения математической физики. Объектом исследования являются поля физических величин, что требуется при анализе прочности и теплопроводности машиностроительных деталей, потоков частиц в электронных приборах, распространения радиоволн в волноводах и пространстве. Число совместно исследуемых различных сред, деталей, слоев, фаз агрегатного состояния невелико вследствии сложностей вычислительного характера.

Под сходимостью подразумевается постепенное приближение последовательных решений к предельному, правильному.

Абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточнении приближенное решение. На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно.

Сходимость разностной схемы означает, что при достаточно малом шаге значения сеточного (приближенного) и точного решения мало отличаются.

Аппроксимация на решение означает, что при подстановке точного решения дифференциальной задачи в разностную схему мы получаем невязку соответствующего порядка малости (идеально бы иметь нуль).

Устойчивость означает, что малые возмущения в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому изменению решения.

Производная df(x)/dx= lim (fx-f0)/(x-x0). Обычно x-xi = h(шаг). Тогда производная определяется в зависимости от нахождения соседних точек разбиения (так называемого шаблона). Замещение частных производных в уравнениях матфизики разностными выражениями позволяет получить приближенное решение системы алгебраических уравнений в узлах сетки.

Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке При применении явных методов происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.

Неявные методы требуют для устойчивости и сходимости малых шагов. Среди неявных разностных методов устойчивы методы Эйлера, методы второго порядка (основаны на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера) и среди них — метод трапеций. Метод интегрирования СОДУ называют A-устойчивым, если погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге .

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей:

- Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства.

- Нумерация узлов сетки.

- Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки.

- Запись уравнений граничных условий для приграничных узлов.

- Решение системы алгебраических уравнений.

Метод конечных элементов — универсальный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

По способу получения основных уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса.

Ансамблирование. Ансамблирование выполняется в соответствии с основной идеей МКЭ, согласно которой - то есть интеграл по всей области равен сумме интегралов по подобластям. Интеграл по одному конечному элементу мы вычислили в (2).

Глобальная матрица жесткости будет иметь размерность, определяемую числом узлов сетки, в нашем примере — 4. Вектор неизвестных составляют перемещения в этих узлах. Локальная матрица жесткости каждого конечного элемента даст аддитивный вклад в глобальную матрицу в соответствии с узлами подключения конечного элемента (это же касается и вектора нагрузок). Смысл глобальной единичной матрицы – определение и учет направлений сил в каждой точке разбиения:

- в точке 0 действуют две противоположные силы вдоль оси х, 1 и -1

- на точку 1 действует сила со стороны точки 0 (-1), две силы в сторону точки 2 и реакция со стороны точки 2 (-1)

- и так далее до точки 3, на которую действует сила со стороны точки 2(равная -1) и сила вдоль оси х (1). Получилась матрица перед столбцом Y

Алгоритм решения стационарных задач методом конечных элементов:

Выбор формы конечного элемента.

Выбор функции формы (аппроксимации) конечного элемента.

Разбиение области на конечные элементы.

Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок.

Ансамблирование.

Учет граничных условий.

Решение системы алгебраических уравнений. После решения системы уравнений получаем значения фазовых переменных в узлах сетки.

5. Математические модели на макроуровне. Компонентные и топологические уравнения. Эквивалентные схемы в электрических механических, гидравлических подсистемах. Правила составления эквивалентных схем. Соединение элементов - алгоритмы составления М-матрицы и матрицы инцидентности. Узловой метод получения ММС.

Ответ:

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку. Независимой переменной является время t, а зависимыми являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п. Исходными для формирования математических моделей объектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), другими словами, математическая модель элемента (ММЭ) представляется компонентными уравнениями.

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы. В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретной физической системы представляют собой исходную математическую модель системы (ММС).

Эквивалентные схемы электрических подсистем простых двухполюсников:

для сопротивления (закон Ома): u = iR (3)

для емкости: (4)

для индуктивности: (5)

где — напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике); — ток.