Взаимодействие формул следования со сложением и умножением

(x+y)’=x+y+1;

(xy)’=xy+1

s’=s+1

xy’=xy+x; x*0’=x*1=x; x*0’=x=x*0+x

Пусть xy’=xy+x

Для xy’’=x*(y’)’=xy’+x=xy+x+x; xy’’=xy+x+x …

58 Роль аксиомы индукции в системе Пеано.

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:

●1 является натуральным числом;

●Число, следующее за натуральным, также является натуральным.

●1 не следует ни за каким натуральным числом;

● Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;

● (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая форма

Введём функцию , которая сопоставляет числу следующее за ним число.

1) ;

2)

3)

4)

5)

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

«1 есть натуральное число»;

«следующее за натуральным числом есть натуральное число»;

«1 не следует ни за каким натуральным числом»;

«всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;

Аксиома полной индукции.

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

ИНДУКЦИИ АКСИОМА - утверждение о справедливости для всех х нек-рого предиката Р(х), определенного на множестве всех неотрицательных целых чисел, если выполняются следующие условия: 1) справедливо Р(0), 2) для любого х, если верно Р(х), то верно и P(x+1). И. а. записывается в виде

В применениях И. а. Р(х) наз. индукционным предикатом, или индукционным предложением, а х индукционной переменной, или переменной, по которой производится индукция. При этом проверка выполненности условия

наз. базисом индукции

а проверка условия - индукционным шагом.

Допущение внутри 2) справедливости Р(х), из которого затем выводится P(x+i), наз. индуктивным предположением.

Иногда вместо И. а. рассматривается аксиома: пусть Р(х)- некоторое свойство неотрицательных целых чисел; если для любого хиз допущения, что Р(у)верно для всех у, меньших х, следует, что верно и Р(х), то Р(х)справедливо для всех х, т. е

Эта аксиома носит название полной, или возвратной, И. а. Принцип полной индукции эквивалентен принципу обычной индукции.