Распределение скоростей и касательных напряжений по сечению круглой трубы

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром . Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод уравнений, расположим трубу горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался, выделим участок длиной между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 1.6.2).

Рис. 1.6.2. Распределение скоростей и касательных напряжений по сечению круглой трубы

Пусть в сечении 1-1 давление равно , а в сечении 2-2 - . В цилиндрической трубе скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент будет неизменным вдоль стабильного потока, тогда уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид (1.4.10)

,

где - потеря давления на трение по длине трубы, определяемая по показаниям пьезометров, установленных в этих сечениях (см. рис. 1.6.2).

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом , соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, которое представляет собой равенство нулю суммы сил давления и сопротивления, действующих на объем,

откуда

, (1.6.1)

где - касательное напряжение на боковой поверхности выделенного цилиндра.

Из формулы (1.6.1) следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в зависимости от радиуса. На оси трубы , так как . На стенке трубы, где , касательные напряжения достигают максимального значения.

Эпюра касательного напряжения показана на рис. 1.6.2 слева.

Касательное напряжение по закону трения Ньютона можно выразить через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости (1.1.12), а если при этом заменить (расстояние от стенки трубы) текущим радиусом, то получим

. (1.6.2)

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета (от оси трубы к стенке) противоположно направленно отсчета (от стенки).

Приравняв правые части уравнений (1.6.1) и (1.6.2), получим

,

откуда приращение скорости

. (1.6.3)

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 1.6.2.

Выполнив интегрирование выражения (1.6.3) для условия, что на стенке трубы при , получим закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном движении жидкости

. (1.6.4)

Максимальная скорость на оси трубы (при условии, что )

, (1.6.5)

а кривая, изображающая эпюру скорости (рис. 1.6.2 справа), является параболой второй степени.

Элементарный расход жидкости через бесконечно малую площадку

.

Если представить в виде функции радиуса (1.6.4), а площадку - в виде кольца радиусом и шириной , то

.

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, то есть от до , получим

. (1.6.6)

Среднюю по сечению скорость жидкости найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (1.6.6) получим

. (1.6.7)

Сравнение полученного выражения с формулой (1.6.5) показывает, что средняя скорость при ламинарном движении в два раза меньше максимальной: .

Из этого следует, что коэффициент Кориолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению в уравнении Бернулли (1.4.9), для случая установившегося ламинарного движения жидкости в круглой трубе, равен двум.

Следовательно, действительная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей по сечению в два раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.

25. турбулентное движение.

При увеличении скорости слоистое течение жидкости нарушается и движение становится беспорядочным, бесформенным- турбулентным.

Критерий, характеризующий режим движения, называется числом Рейнольдса и определяется по следующей формуле:

гдеV – средняя скорость потока;

d – диаметр потока

v - коэффициент кинематической вязкости.

Если в потоке жидкости скорость постепенно увеличивать, то смена ламинарного режима на турбулентный произойдет если число Рейнольдса достигнет верхнего критического значения равного 13800. Если скорость уменьшать, то турбулентный режим перейдет в ламинарный при нижнем критическом значении 2320. Область, заключенная между верхним и нижним значения числа Рейнольдса, называется переходной областью или областью неустойчивого режима, в которой может установиться как ламинарный, так и турбулентный режимы.