Чебышева

И оконные фШ1ьmры, и фильтры Чебышева предназначены для частотной селекции.

Разница в том, что оконные фильтры относятся к классу КИХ-фильтров и

используют операцию свёртки, а фильтры Чебышева относятся к классу

БИХ-фильтров и имеют рекурсивную структуру. Какой же из фильтров окажется

лучшим в частотной области? Начнём поединок!

Претендентом на победу со стороны рекурсивных фильтров будет 6-полюсный

НЧ-фильтр Чебышева с неравномерностью 0.5%. Сопоставимость фильтров

осложнена тем, что частотная характеристика фильтра Чебышева зависит от верхней

граничной частоты. Пусть для определённости частота среза равна 0.2, а порядок

оконного фильтра равен 51. При таких условиях оба фильтра имеют одинаковую

скорость спада АЧХ между уровнями 0.9 и 0.1 (Рис. 21.2а). Посмотрим, какой из фильтров окажется сильнее в этой «схватке». Уровень

колебаний АЧХ в полосе пропускания фильтра Чебышева составляет 0.5%; у

оконного фильтра колебания отсутствуют. Однако при необходимости можно задать

нулевой уровень неравномерности и для фильтра Чебышева, поэтому оба

фильтра оказываются в равном положении. Зато по уровню затухания в зоне по-

396 • Глава 21. Сравнительный анализ фильтров

давления побеждает оконный фильтр, что хорошо видно по Рис. 21.2б. Счёт

«ОДИН-НОЛЬ» в пользу оконного фильтра.

На Рис. 21.3 сравниваются переходные характеристики фильтров. Как и следовало

ожидать, для фильтров частотной селекции временные характеристики

оказались очень невысокого качества. Рекурсивный фильтр имеет нелинейную фазу,

но это может быть легко исправлено применением двунаправленной фильтрации.

Объявляем ничью: на этот раз ни один из фильтров не имеет явных преимуществ.

До настоящего момента мы не обнаружили никакого существенного различия

в работе фильтров, т. е. в приложениях со средними требованиями оба фильтра

работают одинаково хорошо. Заметное преимущество проявляется только в двух

крайних случаях: при достижении максимальной разрешающей способности

фильтра по частоте и вычислительной эффективности. Оконный фильтр обеспечивает

наивысшее разрешение (можно сказать, что он более «мощный»), а

фильтр Чебышева является в свою очередь более быстрым и «проворным». Представьте,

что возникла по-настоящему серьёзная проблема: нужно выделить сигнал

напряжением 100 мВ с частотой 61 Гц, распространяющийся по сети электропитания

120 В/60 Гц. На Рис. 21.4 сравниваются частотные характеристики двух

рассмотренных фильтров, рассчитанных с целью достижения наивысшего разрешения

по частоте. Фильтр Чебышева имеет 6 полюсов и уровень неравномерности

0.5%. Такое число полюсов является максимально возможным при частоте

среза 0.05 и одинарной точности вычислений. Оконный фильтр 1001-го порядка

получен в результате свёртки импульсной характеристики фильтра 501-го порядка

с самой собой. В Главе 16 говорилось, что данное преобразование повышает

уровень затухания в зоне подавления оконного фильтра.

Какой же из фильтров победит при необходимости получить максимальное

разрешение по частоте? Оконный фильтр отправляет фильтр Чебышева в нокаут!

Любые попытки улучшить рекурсивный фильтр (увеличение числа полюсов, введение

дополнительных каскадов, переход к двойной точности и т. д.) не позволяют

достичь характеристик, близких к характеристикам КИХ-фильтра. Это осо- бенно впечатляет, если учесть, что оконный фильтр нанёс сейчас лишь свой

первый удар. Рекурсивные фильтры отличаются ограниченной точностью воспроизведения

желаемых частотных характеристик. Напротив, при использовании

оконных фильтров она может достичь невероятной степени точности. Сказанное

справедливо при одном условии: если у вас достаточно времени на

вычисления. Теперь пора рассмотреть второй критический параметр - вычислительную

эффективность.

Сравнивать быстроту обработки отсчётов входного сигнала 6-полюсным рекурсивным

фильтром и оконным фильтром - всё равно что наблюдать состязание

Феррари и карта (Рис. 21.5). Известно, что крутизна спада АЧХ рекурсивного

фильтра повышается по мере приближения частоты среза либо к нулевой частоте,

либо к половине частоты дискретизации. В силу сохранения равенства по разрешающей

способности (чтобы соревнования между фильтрами проводились «честно

») необходимо увеличивать порядок оконного фильтра. В результате вблизи частот О и 0.5 время обработки оконным фильтром увеличивается. Таким образом,

при сравнимых точностных характеристиках КИХ-фильтры работают на порядок

медленнее, чем БИХ-фильтры (карт - 25 км/ч; Феррари - 250 км/ч).

21.3. Третий раунд: