Непрерывные случайные величины: законы распределения и числовые характеристики

Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной (НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .

Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Если функция распределения случайной величины на числовой прямой всюду непрерывна и почти всюду дифференцируема, то она является функцией распределения непрерывной случайной величины, плотность вероятностей которой в точках, где дифференцируема, определяется равенством:

.

В точках, где недифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.

Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Модой непрерывной случайной величины называется число , определяемое как точка локального максимума плотности вероятностей . Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или множество значений (мультимодальное распределение).

Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .

Начальным моментом -го порядка () распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Центральным моментом -го порядка () распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .

В задачах 12.146-12.151 непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется: а) найти функцию плотности вероятностей ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .

12.146,.

12.147,.

12.148,.

12.149,.

12.150,.

12.151,.

В задачах 12.152-12.155 непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется: а) найти функцию распределения ; б) вычислить математическое ожидание и дисперсию ; в) найти вероятность попадания случайной величины .в интервал .

12.152,.

12.153,.

12.154,.

12.155,.

В задачах 12.156-12.157 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и её математическое ожидание .

12.156 12.157

В задачах 12.158-12.159 необходимо найти неизвестные константы в выражении для функции распределения НСВ и вероятность указанного интервала.

12.158,,.

12.159,.

В задачах 12.160-12.164 необходимо найти неизвестную константу в выражении для функции плотности вероятностей НСВ и вероятность указанного интервала.

12.160,.

12.161,.

12.162,.

12.163,.

12.164,.

Случайная величина задана функцией распределения. Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина три раза примет значение, принадлежащее интервалу, если.

12.166 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти вероятность того, что в трёх независимых испытаниях величина два раза примет значение, принадлежащее интервалу .

12.167 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти моду величины , если:

а)

б)

12.168 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти медиану величины , если:

а) б)

12.169 Доказать, что центральные моменты второго, третьего и четвёртого порядков: случайной величины связаны с её начальными моментами первого, второго, третьего и четвёртого порядков: равенствами: а) ;

Б); в).

12.170 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Требуется вычислить её начальные и центральные моменты: , ; коэффициенты асимметрии и эксцесса , если:

а) б)