Теория возмущений

Тео́рия возмуще́ний — подход в теоретической физике, заключающийся в разложении уравнений движения по какому-либо малому параметру и последующему решению этих уравнений почленно. При этом решения исходного уравнения тоже записываются в виде ряда по этому малому параметру. Вся эта процедура напоминает разложение функции в ряд Тейлора.

Теория возмущений является очень эффективным методом в тех случаях, когда гамильтониан системы сложен (и потому уравнения движения не могут быть решены точно), однако он лишь немногим отличается от некоторого точно решаемого гамильтониана.

Теория возмущений является стандартным методом решения задач в квантовой механике и квантовой теории поля; иногда применяется и при решении задач классической механики.

Стационарная теория возмущений в квантовой механике может применяться для систем, для которых существует диагонализуемый оператор Гамильтона и вклада возмущения: H = H0 + λH1 при этом параметр λ должен быть настолько маленький, что нарушение не слишком искажает спектр H0. Однако, для этого не имеется никаких точных правил, решение представляется в виде

Конечно, должно быть выполнено уравнение Шрёдингера:

Подставляя разложение в это уравнение, получим

Собирая слагаемые одинакового порядка по λ, получим последовательности уравнений

и т.д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения и . Слагаемое с индексом k = 0 - это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о "приближении нулевого порядка". Аналогично говорят о "приближении k-го порядка", если рассчитывают решение до слагаемых и .

Из второго уравнения получаем, что можно определяться однозначно решения для n¹ только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация n¹ и n⁰ является решением. Можно показать, используя условия нормировки собственных значений, что

и из этого

Получаем поправку в первом порядке

и для поправки энергии во втором порядке