Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

При анализе переходных процессов в линейных радиоцепях удобно использовать преобразование Лапласа при определении зависимостей напряжения в различных точках цепи от времени. Это оказывается удобнее, чем составление и решение дифференциальных уравнений во временной области, так как гораздо проще определить функцию и её изображение по Лапласу.

27. Принципы квантовой механики…

Состояние квантовой системы описывается волновой функцией ψ, которая в общем случае является комплексной функцией радиус-вектора и времени t: .

Физический смыслволновой функции заключается в том, что

вероятность нахождения частицы в момент времени в объеме определяется формулой:

где /в декартовой системе координат/.

Так как нахождение частицы в пространстве - событие достоверное, то должно выполняться соотношение

где - объем всего пространства.

Выражение (5) называется условием нормировки. Если интеграл от сходится, то волновая функция всегда может быть нормирована соответствующим выбором постоянного коэффициента при ψ.

Следующим положением, лежащим в основе квантовой механики, является принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом:

Если квантовая система может находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями ψ₁ и ψ₂, то она может находиться и в состояниях, описываемых произвольной линейной комбинацией этих функций:

где C₁, С₂ - любые, не зависящие от времени комплексные числа.

В общем случае под оператором понимается правило,по которому с каждой из рассматриваемого класса функций U () сопоставляется другая функция - V (). Это правило символически записывается в виде умножения U() на :

Из всех возможных операторов для изображения физических величин в квантовой механике используется лишь класс так называемых линейных самосопряженных операторов, так как только они могут соответствовать физическим величинам.

Оператор , называется линейным, если он обладает следующим свойством:

где U₁, U₂ - произвольные функции; С₁, С₂ - произвольные постоянные.

Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если

где интеграл берется по всей области возможного изменения .

Значение введения операторов в квантовую механику заключаетсяв том, что все связи между физическими величинами могут быть выражены на языке операторов.

Основная идея применения операторов заключается в том, что с каждой физической величиной (динамической переменной) в квантовой механике сопоставляется изображающий ее линейный (чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряженный (чтобы значения были вещественны) оператор .

Связь между операторами и измеряемыми динамическими переменными устанавливается с помощью выражения для среднего значения величины , описываемой волновой функцией :

Запишем операторное уравнение

(16)

Так как - оператор, соответствующий физической величине , то (16) представляет собой линейное уравнение для нахождения волновой функций состояния, в котором эта величина имеет значение .

В квантовой механике оператор часто является дифференциальным, т.е. содержит операцию дифференцирования. В этом случае (16) - линейное однородное дифференциальное уравнение.

В общем случае такое уравнение имеет нетривиальное /т.е. отличное от нуля/ решение только при некоторых определённых значениях Е, которые являются параметрами (16). Эти значения параметра называются собственными значениями оператора . Соответствующиеим решения (16) называются собственными функциями оператора .

Параметры n, нумерующие собственные значения и собственные функции, называются квантовыми числами.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром.

Если оператор имеет дискретные собственные значения, такой спектр называется дискретным. В этом случае говорят, что величина имеет квантованные значения.

Если собственные значения пробегают непрерывный ряд значений, такой спектр его значений называется непрерывным.

Существуют такие состояния физической системы, которые описываются различными собственными функциями некоторого оператора, но соответствуют одному и тому же собственному значению. Такие состояния системы называются вырожденными, а число независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же значению оператора, - краткостью вырождения.

в состоянии, описываемом собственной функцией оператора , физическая величина имеет значение, равное собственному значению этого оператора.

В этом и заключается физическая интерпретация математического формализма квантовой механики.

Явный вид некоторых операторов не релятивистской квантовой механики приведен в таблице.

Физическая величина	Оператор
Координата
(17) Импульс
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Полная энергия

28. Уравнение Шредингера…..