Поперечный и истый изгиб

Плоски,поперечный и чистый изгиб

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90, называется рамой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

Косой изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.6.2

Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

- Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.

- Проверка прочности балок.

- Определение перемещений и проверка жесткости балок.

Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.

Прямым чистым изгибом называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - изгибающий момент. Если кроме изгибающего момента возникает поперечная сила, то имеет место прямой поперечный изгиб. Все внешние силы при прямом изгибе бруса действуют в его главной плоскости (рис. 1), искривление оси бруса происходит в той же плоскости.

Рисунок 1
Рисунок 2
Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На расчетной схеме балку принято заменять ее осью. При этом все силы должны быть приведены к оси балки, а силовая плоскость (плоскость действия нагрузки) - совпадать с плоскостью чертежа.

Придав балке, представленной на рис.1, условное изображение (рис. 2, а), определим внутренние силовые факторы в ее поперечных сечениях. В соответствии с местом приложения нагрузок - пары сил с моментом, сосредоточенной силы F и равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q - разделим балку на три участка: I, II и III. Рассечем балку на участке I сечением, расположенным на расстоянии х от места приложения момента, и отбросим правую часть балки (рис. 2, б). Тогда на основании уравнения, поскольку проекции сил, образующих пару, на ось х равны нулю, и равновесие оставшейся части балки обеспечивается одним изгибающим моментом. При изменении х от 0 до a, т. е. в любом сечении на участке I (), изгибающий момент. Следовательно, участок I балки находится в состоянии чистого изгиба.

Рассечем балку на участке II сечением, расположенным на расстоянии x [теперь ] от левого конца балки, и, отбросив ее правую часть (рис. 2, в), найдем, что поперечная сила равна проекции внешней силы на ось у, т. е., а изгибающий момент равен алгебраической сумме момента пары и момента силы F относительно центра тяжести сечения:.

Действие момента противоположно действию момента, поэтому он взят со знаком минус. Балка на участке II находится в состоянии поперечного изгиба, так как в сечениях этого участка возникают поперечная сила и изгибающий момент. Заметим, что в данном случае значение поперечной силы на участке II не зависит от x:, т. е. в любом сечении. Числовое значение изгибающего момента находится в линейной зависимости от х, т. е. изменяется при переходе от одного сечения к другому.

Рассечем балку на участке III сечением на расстоянии от левого ее конца и, отбросив правую часть (рис. 2, г) найдем поперечную силу: и изгибающий момент:
или.

На этом участке возникает тоже поперечный изгиб. Причем из-за наличия здесь равномерно распределенной нагрузки поперечная сила зависит от места сечения на участке: по мере передвижения сечения вправо (при возрастании х) увеличивается абсолютное значение второго слагаемого; изгибающий момент меняется в зависимости от х по параболическому закону.

Между изгибающим моментом, поперечной силой Q и интенсивностью q равномерно распределенной нагрузки существуют следующие дифференциальные зависимости: - производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе; - производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности равномерно распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.

Справедливость этих зависимостей можно проверить для значений и, найденных, например, для участка III балки (рис. 2, г), которым можно придать такой вид:
,
.
Продифференцируем первое выражение по х, имея в виду, что, F, а, b и q - величины постоянные:
.

Продифференцировав выражение поперечной силы, получим. Если действие равномерно распределенной нагрузки совпадает с положительным направлением оси y, то.

Из дифференциальных зависимостей и следует:
1) если; Q = 0;
2) если, то q = 0, а изменяется по линейному закону, причем при Q > 0 возрастает, а при Q < 0 - убывает;
3) если Q изменяется по линейному закону, то изменяется по параболическому закону.