Сложение и разложение сил

Статика. Основные понятия и аксиомы статики.

Ста́тика — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Про тело говорят, что оно находится в равновесии, если оно покоится или движется равномерно и прямолинейно относительно выбранной инерциальной системы отсчёта.

В статике материальные тела считают абсолютно твёрдыми, т.к. изменение размеров тел обычно мало по сравнению с начальными размерами.

Аксиомы статики

Система сил, приложенная к телу или материальной точке, называется уравновешенной или эквивалентной нулю, если тело под действием этой системы находится в состоянии покоя или движения по инерции.[1]

Не нарушая механического состояния тела, к нему можно приложить или отбросить уравновешенную систему сил.

О действии и противодействии. При всяком действии одного тела на другое со стороны другого тела имеется равное противодействие, такое же по величине, но противоположное по направлению.

О двух силах. Две силы, приложенные к одному и тому же телу, взаимно уравновешены (их действие эквивалентно нулю) тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны.

О равнодействующей. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к той же точке и равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как сторонах.

Аксиома затвердевания. Если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания.

Аксиома о связях. Механическое состояние системы не изменится, если освободить её от связей и приложить к точкам системы силы, равные действовавшим на них силам реакций связей.

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил.
Силой называется физическая величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел. Сила – величина векторная. Она характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения. Основной единицей измерения силы является Ньютон [Н].
В статике все тела считаются абсолютно твёрдыми, то есть под действием сил их форма и размеры остаются неизменными.
Совокупность сил, приложенных к телу, называется системой сил. Если все силы лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской. Если силы не лежат в одной плоскости, то они образуют пространственную систему сил.
Тело, которое из данного положения может переместиться в любое положение в пространстве, называется свободным телом.
Две системы сил называют эквивалентными одна другой, если каждая из них, действуя по отдельности, может сообщить покоящемуся телу одно и то же движение .
Система сил, под действием которой покоящееся тело не изменяет своего состояния покоя, называется уравновешенной или эквивалентной нулю – .
Сила, которая одна заменяет действие системы сил на твёрдое тело, называется равнодействующей – .
Силы могут быть сосредоточенные (рис. 1.1, а) и распределенные (рис. 1.1, б). Сила, приложенная к какой-нибудь одной точке тела, называется сосредоточенной.
Система распределенных сил характеризуется интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в Ньютонах, деленных на метры (Н/м).

а	б

Рис. 1.1

Распределенную нагрузку в виде прямоугольника (равномерно распределенная нагрузка) или треугольника заменяют одной силой (равнодействующей), которую прикладывают в центре тяжести площади распределения (рис. 1.1, б). Величина равнодействующей численно равна площади фигуры, образованной распределенной нагрузкой: .

1.2. Аксиомы статики

В основе статики лежат некоторые основные положения (аксиомы), которые являются обобщением многовекового производственного опыта человечества и теоретических исследований.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твёрдое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.2).

Рис.1.2

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твёрдое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Если , то .
Следствие: действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль её линии действия в любую другую точку тела.
Пусть на тело действует приложенная в точке А сила . Выберем на линии действия этой силы произвольную точку В, и приложим к ней уравновешенные силы и , причём , . Так как силы и образуют уравновешенную систему сил, то согласно второй аксиоме статики их можно отбросить. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В (рис.1.3).

Рис.1.3

Аксиома 3. Две силы, приложенные к твёрдому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и (рис.1.4).

Рис.1.4

Аксиома 4. Закон равенства действия и противодействия.
При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие (рис.1.5).

Рис.1.5

№	Наименование связи	Условное обозначение
	Гладкая поверхность (опора) – поверхность (опора), трением о которую данного тела можно пренебречь. При свободном опирании реакция направляется перпендикулярно касательной, проведенной через точку А контакта тела 1 с опорной поверхностью 2.
	Нить (гибкая, нерастяжимая). Связь, осуществлённая в виде нерастяжимой нити, не позволяет телу удаляться от точки подвеса. Поэтому реакция нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.
	Невесомый стержень – стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой нагрузкой можно пренебречь. Реакция невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.
	Подвижный шарнир, шарнирно-подвижная опора. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности.
	Цилиндрический шарнир (подшипник, шарнирно-неподвижная опора). При осуществлении связи в виде цилиндрического шарнира одно тело может поворачиваться относительно другого вокруг общей оси, называемой осью шарнира. Реакция цилиндрического шарнира заранее не известна ни по величине, ни по на-правлению; может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Модуль и направление полной реакции определяют две составляющие реакции в этой плоскости.
	Сферический (шаровый) шарнир, подпятник. Тела, соединённые с помощью сферического шарнира, могут как угодно поворачиваться относительно центра шарнира. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Реакция сферического шарнира и подпятника (подшипника с упором) может иметь любое направление в пространстве. Три составляющие , , реакции определяют модуль и направление полной реакции.
	Жесткая заделка. В плоскости жесткой заделки будут две составляющие реакции , и момент пары сил , который препятствует повороту балки 1 относительно точки А. Жесткая заделка в пространстве отнимает у тела 1 все шесть степеней свободы – три переме-щения вдоль осей координат и три поворота отно-сительно этих осей. В пространственной жесткой заделке будут три составляющие , , и три момента пар сил .
	Ползун 1 на стержне 2. Рекция направлена перпендикулярно стержню 2, момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А.
	Ползун 1 в направляющих. Рекция направлена перпендикулярно направляющим, момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А.

Аксиома 5. Принцип отвердевания.
Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действи-ем данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твёрдым.

Сложение и разложение сил.

Система сил — совокупность сил, приложенных к телу.

Сходящиеся силы — силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующая — сила, заменяющая действие системы сил.

Сложить силы — значит найти их равнодействующую.

Разложить силу — значит найти ее составляющие. Две равные силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, тело при действии этих сил находится в равновесии, т. е. в состоянии покоя.

Система сил — совокупность сил, приложенных к телу.

Сходящиеся силы — силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующая — сила, заменяющая действие системы сил.

Сложить силы — значит найти их равнодействующую.

Разложить силу — значит найти ее составляющие. Две равные силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, тело при действии этих сил находится в равновесии, т. е. в состоянии покоя.

Точку приложения силы, действующей на твердое тело, можно переносить по линии ее действия в любую другую точку, при этом действие силы не изменится.

Равнодействующая двух сил, приложенных под углом в одной точке, проходит через ту же точку и направлена по диагонали параллелограмма, построенного на этих силах.

Действие равно и противоположно противодействию.

Несвободное тело под действием сил оказывает на опору давление, которое равно и противоположно давлению, оказываемому опорой на тело.

Направление сил, действующих вправо и вверх, принято обозначать знаком плюс, а сил, действующих влево и вниз, — знаком минус.

Направление сил со знаком плюс считают положительным, а направление со знаком минус — отрицательным.

Сложение сил, действующих по одной прямой. Если силы действуют на тело по одной прямой и в одном направлении, то равнодействующая их R равна их сумме (рис. 54, а): R = P1 + P2. (11)

Если силы действуют на тело по одной прямой, но в разных направлениях, то равнодействующая их R равна алгебраической сумме этих сил. Для получения этой суммы надо из равнодействующей R2 положительно направленных сил вычесть равнодействующую R1 отрицательно направленных сил.

R1 = Q1 + Q2; R2 = P1 + P2 + P3; R = R2-R1 (12)

Если равнодействующая этих сил равна нулю, то силы находятся в равновесии.

Пример. Q2=40 кГ; Q1 = 30 кГ; P1=20 кГ; Р2=25 кГ; и Р3 =10 кГ (см. рис. 54, б). Равнодействующая R1 отрицательно направленных сил равна 70 кГ (40+30), а равнодействующая R2 положительно направленных сил равна 55 кГ (20+25+10). Общая равнодействующая R=55-70= -15 кГ. Величина R отрицательная — равнодействующая направлена влево.

Сложение и разложение сил, пересекающихся в одной точке. Равнодействующая R двух сходящихся сил по величине и направлению является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 54, в).

Таким образом, если на точку а действуют под углом α две силы P1 и Р2, то равнодействующая их по величине и направлению равна диагонали ас; направление равнодействующей от точки а к точке с.

Но для нахождения равнодействующей строить весь параллелограмм не обязательно, достаточно построить треугольник abc (см. рис. 54, в, справа). От точки а проводим линию, параллельную силе Р1, на которой откладываем от точки а величину силы P1 в выбранном масштабе (отрезок ab), через точку b проводим линию, параллельную силе Р2, и откладываем на ней от точки b величину силы Р2 в том же масштабе (отрезок bc). Соединив точки а и с прямой, получим треугольник abc. Линия ас будет являться равнодействующей R сил P1 и Р2. Равнодействующая направлена от точки а к точке с. Полученный треугольник abc представляет половину параллелограмма и называется треугольником сил.

Применяя правило параллелограмма или треугольника, легко найти равнодействующую любого числа сходящихся сил.

Разложение силы на две составляющие. Для разложения силы R на две составляющие, направление которых известно, эту силу принимают за диагональ параллелограмма сил, на которой строят параллелограмм или треугольник (в последнем случае сила будет являться третьей стороной треугольника). Стороны параллелограмма (или треугольника) будут являться искомыми составляющими силами.

Через точку С (рис. 54, г) проводим линию АС, параллельную ON, до встречи с линией ОМ в точке А и через ту же точку С проводим линию ВС, параллельную ОМ, до встречи с линией ON в точке В. Отрезки ОВ и ОА являются искомыми силами P1 и Р2.