Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, является моделью, которая часто используется при описании классических и квантовых систем.

Пружинный, физический и математический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна:

где — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы.

Классический осциллятор не может выйти за пределы "потенциальной ямы" с координатами

Уравнение Шредингера для стационарных состояний квантового осциллятора:

где E — полная энергия осциллятора.

Собственные значения энергии для этого уравнения:

Таким образом, энергия квантового осциллятора квантуется (может иметь лишь дискретные значения). Уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях, равных.

Минимальная энергия называется энергией нулевых колебаний.

Существование энергии нулевых колебаний — типично квантовый эффект — прямое следствие соотношения неопределенностей.

Частица в яме любой формы не может находиться на ее дне, поскольку в нуль обращается импульс частицы и его неопределенность, а неопределенность координаты становится бесконечной, что противоречит, в свою очередь, условию пребывания частицы в "потенциальной яме".

Правилами отбора в квантовой механике называются условия, накладываемые на изменения квантовых чисел.

Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними подуровнями, т.е. переходы, удовлетворяющие правилу отбора:

Δ n = ±1

Следовательно, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями hω и гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.

Квантово-механическое решение задачи о квантовом осцилляторе показывает, что имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами области

На рисунке приведена квантовая плотность вероятности обнаружения осциллятора при n =1, имеющая конечные значения для.