Потоки платежей и финансовые ренты

Нерегулярнымпотоком платежей называются платежи, у которых часть выплат является положительными, а часть отрицательными величинами. В этом случае интервалы между платежами могут быть неравными.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

1. член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;

2. период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;

3. срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

4. процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Условия финансовых сделок весьма разнообразны, соответственно разнообразны и виды потоков платежей.

Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий (например, погашение кредита). Даты первой и последней выплат в этом случае определены до начала ренты. Условные ренты - ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события (например, пенсия).

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году) и срочные (при которой период ренты может быть как более, так и менее года). Кроме того, в финансовой деятельности встречаются потоки платежей, которые производятся столь часто, что их можно считать непрерывными.

По числу начислений процентов различают ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в год, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. По этому признаку ренты классифицируются на простые и общие соответственно.

По величине членов ренты могут быть постоянные (ренты с равными платежами), и переменные ренты (где величина платежа варьирует, т.е. рента с платежами, изменяющимися во времени).

По методу выплаты платежей выделяют обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо), и ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются:

· наращенная сумма;

· современная величина потока платежей.

Наращенная сумма потока платежей (в том числе и финансовой ренты) – сумма всех выплат с начисленными на них сложными процентами к концу срока ренты. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Будем рассматривать в основном ренты постнумерандо.

Рассмотрим в качестве примера ситуацию, когда в конце каждого года клиент вносит в банк одинаковую сумму R. Требуется определить наращенную сумму в конце срока ренты (через n лет). Банковская процентная ставка i.

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты.

В конце первого года на счете будет сумма

(3.22)

В конце второго года эта сумма вырастет в (1+ i) раз и к ней прибавится вторая выплата. На счете будет сумма

(3.23)

Рассуждая аналогично, можно показать, что в конце n -го года на счете будет сумма

(3.24)

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и знаменателем прогрессии равным (1 + i). Просуммировав ряд в правой стороне получим:

(3.25)

К примеру, найдем текущее значение ренты с выплатами 50000 руб. в конце года в течение 6 лет. Проценты начисляются по ставке 12% годовых. Наращенная сумма будет

Часто формулу (3.25) записывают в виде:

(3.26)

где s _n;i – коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Современная (текущая) стоимость потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке сложных процентов. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей представлена на рис. 3.4.

Рис. 3.4

В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. На этой основе можно дать ответ на вопрос, насколько окупится сегодняшнее вложение средств завтрашними выгодами. При анализе инвестиционных проектов проводится сопоставление затрат, которые необходимо осуществить сегодня, и тех денежных поступлений, которые можно получить в будущем, и в решении этой проблемы очень помогает подход, основанный на определении текущей стоимости аннуитета.

Современная стоимость аннуитета складывается из современных стоимостей всех будущих платежей:

(3.27)

где PVA – современная стоимость аннуитета; R – регулярный ежегодный доход;

n – количество лет, в течение которых поступали платежи; i – ставка дисконтирования.

Просуммировав ряд в правой стороне (геометрическую прогрессию) получим:

(3.28)

Часто формулу (3.28) записывают в виде:

(3.29)

где a _n;i – коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Определим по данным предыдущего примера современную величину ренты.