Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

49.

50.

51.

52.

53. Методика расчета линейных цепей при периодических

несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.

2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.

3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

54. Рассмотрим симметричную систему трехфазных несинусоидальных величин (ЭДС, напряжений или токов), имеющих одинаковую форму во всех трех фазах и сдвинутых относительно друг друга на 1/3 периода первой гармоники. Такие кривые содержат во всех трех фазах одинаковые по амплитуде гармоники, однако фазовые сдвиги между гармониками фаз будут различны. Действительно, поскольку период 3-й гармоники в три раза меньше периода 1-й гармоники, то составляющие 3-й гармоники в отдельных фазах совпадают по фазе или образуют систему нулевой последовательности. То же относится и ко всем остальным гармоникам, порядок которых k кратен трем (k = 3 n; n — целое число; k = 6, 9, 12, 15,...). Аналогично гармоники с k = 2, 5, 8,... = 3 п – 1 (п — целое число) образуют симметричные системы обратной последовательности, а гармоники порядка k = 1, 4, 7, 10,... = 3 n + l (п — целое число) — системы прямой последовательности. Это определяет особый характер действия гармоник различного порядка в трехфазных цепях.

Так, при соединении фаз источника звездой (см. рис. 10.2) линейное напряжение не содержит гармоник, кратных трем, так как эти гармоники, имеющиеся в фазных напряжениях, при вычитании компенсируются. В результате фазные и линейные напряжения имеют различную форму, и соотношение U _л /U _ф = Ö3 выполняется лишь для гармоник, не кратных трем. Поэтому для действующих значений U _л /U _ф <Ö3, так как в линейных напряжениях гармоники, кратные трем, отсутствуют.

При соединении фаз источника и приемника звездой ток в нейтральном проводе будет протекать даже при полной симметрии несинусоидальных фазных напряжений и фаз приемника. Этот ток будет обусловлен совпадающими по фазе составляющими токов в приемнике, порядок которых равен трем. При отсутствии нейтрального провода в фазах приемника не могут протекать токи этих гармоник, так как они отсутствуют в линейных напряжениях. Если при этом фазы приемника соединены звездой, то между нейтралями источника и приемника возникает напряжение, обусловленное гармониками, кратными трем, содержащимися в фазных напряжениях источника.

При соединении фаз источника треугольником составляющие фазных ЭДС в контуре треугольника суммируются. За счет совпадения по фазе составляющих с k = 3 n их сумма отлична от нуля. Это приводит к появлению тока в контуре треугольника, порядок составляющих которого равен трем. Падения напряжения на каждой фазе, обусловленные этими токами, равны вызвавшим их ЭДС, и фазные напряжения обмоток не содержат гармоник, кратных трем. Поэтому во внешних цепях, питаемых от источника с соединением фаз треугольником, гармоники, кратные трем, будут отсутствовать. Такое соединение фаз источника и применяется в энергетических системах, где оно позволяет исключить гармоники, кратные трем, и тем самым приблизить формы кривых напряжений и токов к синусоидальным.

55.

56.

57. Перейдем к рассмотрению переходных процессов в цепи с последовательным соединением резистора R и емкости C. По второму закону Кирхгофа для этой цепи

Ri + u_C = u.

Ток в емкости можно представить в виде i = Cdu_C / dt. Отсюда

.

Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих u_C = u _у + u _с. Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения (u = 0) в виде u _с = U e ^pt. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p

Выражение RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на p^k, где k - порядок производной.

Отсюда общее решение для напряжения на емкости

uC = u у + u с= u у + U e- t /t,

(8)

где U - постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений; t = 1/|p| = RC - постоянная времени переходного процесса.

Рассмотрим процесс подключения последовательной R - C цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 5 а)).

В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости U ₀ может быть произвольным и иметь произвольный знак по отношению к ЭДС источника.

Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа S всегда будет равно E, т.к. на постоянном токе в установившемся режиме du_C / dt = 0 и i = Cdu_C / dt = 0, а u_C = u - Ri = E - Ri = E. Поэтому из выражения (8) напряжение на емкости в общем виде будет равно

uC = u у + u с= E + U e- t /t.

(9)

Пусть напряжение на емкости до коммутации было u_C (0-) = ± U ₀ (знак + соответствует полярности напряжения на рис. 5 а) без скобок). Тогда из (9) для момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную U

,

а затем и выражение для напряжения на емкости в виде

,

(10)

где t = RC - постоянная времени переходного процесса.

Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе

.

(11)

На рис. 5 б)-г) приведены временные диаграммы переходного процесса подключения R - C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1) E > U ₀ > 0; 2) E < U ₀ и U ₀ > 0; 3) U ₀ < 0 Во всех случаях напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется от U ₀ до E. В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U ₀, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E < U ₀, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости.

Полный разряд емкости происходит при отсутствии внешних источников энергии (рис. 1 а)). После переключения ключа S вся энергия накопленная в электрическом поле емкости C преобразуется в тепло в резисторе R.

Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую

u_C = u _с= U e- ^t /t

и если цепь достаточно длительное время была подключена к источнику, то в момент переключения напряжение на емкости будет равно E. Поэтому постоянная U будет равна

u_C (0-) = E = u_C (0₊) = U,

а напряжение на емкости в переходном процессе -

uC = E e- t /t.

(12)

Отсюда ток в цепи и напряжение на резисторе

.

(13)

58. Рассмотрим переходные процессы в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор R и индуктивность L. Уравнение Кирхгофа для такой цепи

,

где u = u (t) - напряжение на входе цепи. Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при u = 0, в виде i _с = I e ^pt. Для этого подставим выражение для тока в исходное уравнение и найдем значение p

.

Выражение Lp + R =0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных тока на p^k, где k - порядок производной.

Таким образом, общее решение для тока при переходном процессе в R-L цепи можно представить в виде

(1)

где t = 1/|p| = L / R - постоянная времени переходного процесса; I - постоянная интегрирования, определяемая по начальным значениям; i - установившийся ток в цепи, определяемый по параметрам R и L и напряжению на входе u.

Длительность переходного процесса в цепи, определяемая значением t, возрастает с увеличением L и уменьшением R.

Рассмотрим подключение R - L цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС E и резистивным сопротивлением R, т.к. после окончания переходного процесса i = const и u_L = Ldi / dt = 0, т.е. i _у = E / R.

Полный ток в переходном процессе из выражения (1)

.

Для определения постоянной I найдем начальное тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации ток останется нулевым. Отсюда

.

Подставляя найденное значение постоянной I в выражение для тока, получим

.

(2)

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе u_R и индуктивности u_L

(3)

Из выражений (1)-(3) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени t = L / R от нулевого до значения E / R (рис. 1 б)). Падение напряжения на сопротивлении u_R повторяет кривую тока в измененном масштабе. Напряжение на индуктивности u_L в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до E, а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б)).

Подставляя выражения (3) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

.

Пусть рассмотренная выше R - L цепь длительное время была подключена к источнику ЭДС E, а затем замкнута накоротко (рис. 2 а)).

В этом случае установившийся ток будет равен нулю и задача сводится к отысканию его свободной составляющей. Из выражения (1)

.

Постоянную I можно определить из начальных условий. Установившийся ток в цепи до переключения ключа S был равен i (0-) = E / R, а т.к. в первый момент после коммутации ток в индуктивности сохраняет свое значение, то i (0-) = i (0₊) = I = E / R. Отсюда ток и падения напряжения в цепи

(4)

Из выражений (4) следует, что при замыкании цепи накоротко ток уменьшается от E / R до нуля по экспоненте с постоянной времени t = L / R (рис. 2 б)). Падение напряжения на резисторе изменяется по такому же закону, а напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком изменяется от нуля до - E, а затем снижается до нуля (рис. 2б)).

Общее падение напряжения на резисторе и индуктивности в любой момент времени

,

как и следовало ожидать, равно нулю и в переходном процессе происходит преобразование энергии магнитного поля в тепло.

При отключении цепи содержащей индуктивность в ней могут возникать падения напряжений опасные для ее элементов. Пусть R - L цепь с подключенным к ней вольтметром отключается от источника постоянной ЭДС E (рис. 3).

Так как цепь содержит индуктивность, то после размыкания ключа S ток не сможет изменить своего значения и будет

59. Апериодический переходный процесс - это форма переходного процесса, реакция системы на воздействие в виде монотонного (без периодических колебаний) перехода системы либо к прежнему уровню равновесия (например послеимпульсного воздействия), либо к новому уровню равновесия (например после ступенчатого воздействия).
Любой переходный процесс представляет собой выход системы из равновесия, достижение определенного максимального отклонения от уровня равновесия, а затем восстанавление равновесия, возвращение системы либо к прежнему уровню (например после импульсного воздействия), либо к новому уровню (например после ступенчатого воздействия). Эта последовательность этапов может осуществляться либо в форме затухающих периодических колебаний, либо без колебаний. В первом случае говорят о колебательном переходном процессе, а во втором - об апериодическом переходном процессе.
Большинство переходных процессов в системах организма являются колебательными (затухающими) переходными процессами.
Примеры: потенциал действия возбудимой ткани, вызванные электрические ответы различных структур мозга, вызванныеэлектромиографические ответы, сократительные реакции фазических мышц на любое импульсное физическое воздействие.
Однако, в системах организма нередки и апериодические переходные процессы. Например, апериодические процессы можно наблюдать при исследовании ответов тонических мышц на импульсное или ступенчатое воздействие, при исследовании некоторых нераспространяющихся электрических переходных процессов деполяризации/гиперполяризации возбудимых структур, некоторых электротонических процессов на мембранах клеток.
Параметры распределения, характеризующие апериодический переходный процесс, либо монотонно стремятся к исходномузначению, либо имеют один экстремум. Апериодический процесс может длиться значительное время. Вероятно, апериодический процесс развивается из-за больших потерь энергии, из-за невозможности осуществления колебательного переходного процесса.

Схема 1. Реакция биосистемы на внешнее воздействие (единичный импульс).

60. Методы составления характеристического уравнения. Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p1, p2,…, pn будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни. Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 131. Параметры элементов заданы в общем виде.

Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решим систему уравнений относительно переменной i3, в результате получим неоднородное дифференциальное уравнение:

Характеристическое уравнение и его корень:

[c-1]

Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.

Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид , тогда

Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от переменных на множитель р, а интегралов – на 1/р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:

Характеристическое уравнение и его корень:

Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.

Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jω на р, следовательно

Для рассматриваемого примера:

;

;

.

Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Корни характеристического уравнения характеризуют свободный переходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с потерями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную вещественную часть.В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описывается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристического уравнения и число его корней равны числу независимых начальных условий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С1, С2,… или последовательно включенные катушки L1, L2,…, то при расчете переходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элементом СЭ =С1 +С2+… или LЭ =L1 +L2+…Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений. Для рассматриваемого выше примера:

а) – при e(t)=E=const;

б) – при e(t)=Emsin(ωt+ ).

При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции Ф11 (или Ф22) и взаимной индукции Ф12 (или Ф21), сцепленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, вычитаются. Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов определяется выражением

61. Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

-независимость уравнений;

-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

;	(2)
.	(3)

Здесь и - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; - матрица-столбец источников внешних воздействий; - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

;	(4)
;	(5)
.	(6)

Поскольку с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

или в матричной форме записи

.

А

В

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

.

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния. Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство тривиально) ,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

.

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

(7)

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

.

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

называется преобразованием Фурье функции f(x).