Дифференциальное уравнение движения реальной жидкости (уравнение Новье-Стокса)

При движении реальной жидкости в потоке жидкости кроме сил давления и тяжести действуют так же силы трения. Действие сил трения (Т) на выделение в потоке вязкой жидкости элементов параллелепипедов появляется в возникновении на его поверхности касательного напряжения. Касательное напряжение определяется как отношение силы трения (Т) к поверхности сопротивления слоёв.

где «-» указывает на то что касательное напряжение тормозит слой движения с большей скоростью. Возьмём случай одноименного плоского потока капельной жидкости в направлении оси x в этом случае проекция скорости зависит от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчёта. РИС

В этих условиях касательное напряжение возникает в нижней и верхней.

Подставим в это выражение значение касательного напряжения по уравнению:

В более общем случае т.е. 3d потока состояние скорости зависит от направлений x,y,z.

Сумма вторых производных по осям координат

На ось y проекция касательного направления имеет вид:

На ось z

Проекции на оси координат равнодействующих всех сил (тяжести, давления и трения) действуют на элементарный объем капельной жидкости с учтом проекции остаточных сил полученных при выводе уравнений Эйлера сост:

Данные уравлнения являются уравнениями Новье-Стокса описывают движение реальных жидкостей. Левые части выражения произведения массы в еденице объема на проекции её ускорения т.е. представляют собой проекции равнодействующих сил энерции возникающие в движении жидкости в правых частях тех же уравнений произведений отражает влияние сил течения. Частные производные отражает влияние изменения гидростатического давления а произведение вязкости на сумму вторичного произведения проекции скорости отражает влияние сил трения на движение жидкости.