Идея метода конечных элементов

Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами и выражаются через значения функций в узлах. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, умноженному на число узлов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, поэтому СЛАУ имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

Метод конечных элементов — универсальный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных. По способу получения основных уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса.

Разбиение области на конечные элементы — процедура построения сетки в методе конечных элементов. В отличие от метода конечных разностей выполняется, как правило, с помощью нерегулярной сетки. При этом во внимание может приниматься априорная информация о градиентах фазовых переменных. Там, где возможны резкие изменения фазовой переменной, сетка строится более густой. При формировании сетки также следует стремиться к получению элементов возможно более "правильной" формы — при использовании треугольных элементов избегать треугольников с очень острыми углами, при использовании прямоугольных элементов стремиться сделать элемент близким к квадрату – это позволяет повысить точность решения.

После ансамблирования получаем математическую модель системы в виде: ; .

где K - матрица жесткости (глобальная), V - вектор фазовых переменных, Q - вектор нагрузок (глобальный), - весовые функции. Матрица является вектором, состоящим из компонент перемещений в вершинах элементов, которые определяются при решении системы уравнений. Она называется обобщенной матрицей жесткости системы и формируется по особым правилам из матриц жесткости отдельных элементов. Элементы обобщенной матрицы жесткости, являющиеся коэффициентами алгебраических уравнений, зависят только от координат вершин элементов и показателей деформируемости среды. Сложность конечного выражения обобщенной матрицы жесткости не зависит от степени неоднородности исследуемой области, т. е. каждый элемент может иметь свойства, отличающиеся от других.

При наличии библиотеки КЭ применение МКЭ сводится к следующим операциям (выполняются инженером):

1. Создание геометрической модели исследуемой среды (например, детали) с помощью программы геометрического моделирования или путем изображения вручную на экране дисплея эскиза (чертежа) изделия.

2. Выбор библиотечной модели КЭ, задание внешних нагрузок и значений геометрических и физических параметров, формулировка граничных условий.

Алгоритм решения стационарных задач методом конечных элементов:

Выбор формы конечного элемента.

Выбор функции формы (аппроксимации) конечного элемента.

Разбиение области на конечные элементы.

Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок.

Ансамблирование.

Учет граничных условий.

Решение системы алгебраических уравнений. После решения системы уравнений получаем значения фазовых переменных в узлах сетки.

5. Математические модели на макроуровне. Компонентные и топологические уравнения. Эквивалентные схемы в электрических механических, гидравлических подсистемах. Правила составления эквивалентных схем. Соединение элементов - алгоритмы составления М-матрицы и матрицы инцидентности. Узловой метод получения ММС.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку. Независимой переменной является время t, а зависимыми являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т.п. Исходными для формирования математических моделей объектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), другими словами, математическая модель элемента (ММЭ) представляется компонентными уравнениями.

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы. В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретной физической системы представляют собой исходную математическую модель системы (ММС).

Модели можно представлять в виде систем уравнений или в графической форме, если между этими формами установлено взаимно однозначное соответствие. В качестве графической формы часто используют эквивалентные схемы.

В электрических системах фазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами систем могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующие элементы: сопротивление, емкость и индуктивность, характеризуемые параметрами R C L

Фазовыми переменными в механических поступательных системах являются силы и скорости. Переменной типа потока является сила F, переменной типа потенциала - скорость V. Простейшие элементы: трение K, масса m, упругость С, компонентные уравнения которых:

F= kV, F=m , V=

и источники силы и скорости с компонентными уравнениями:

F=F(Z), V=V(Z),