Методы классического твердотельного моделирования

Под твердым телом понимается заполненная «материалом» замкнутая область пространства. Все твердые тела делятся на базовые (примитивы) и составные.

- примитивы (синоним – базисный элемент). Ими могут быть: а) Функции графической библиотеки или графических программ для отображения простейших геометрических объектов с целью обеспечить программистов и пользователей удобным набором программных средств для формирования геометрических объектов. б) Структуры для передачи информации о простейших геометрических объектах, с помощью которых может быть сформировано описание принятой модели и передано в другую систему.

Геометрические примитивы: 1) точка (point) - простейший геометрический объект с нулевой размерностью, характеризуется только местоположением; 2) отрезок (segment) - совокупность точек (пикселов), через которые проходит геометрический отрезок с заданными конечными точками. Характеризуется начальной и конечной точками, или начальной точкой и приращениями координат, или длиной и углом наклона; 3) ломаная (open polygon, polyline) - последовательности отрезков, соединяющих заданные точки; 4) полигон, или многоугольник (polygon) - область, ограниченная замкнутой ломанной. Прямоугольник (rectangle) - частный случай полигона все углы которого прямые. 5) плоская кривая (planar curve) - множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0, может проходить через несколько точек. Кривая Безье (Besier curve) - полиномиальная кривая, используемая для аппроксимации кривой по опорным точкам. 6) дуги окружностей и эллипсов, других кривых второго порядка, различные треугольники и правильные многоугольники и т.п.

- эскизирование с учетом ограничений. Чертеж временного характера, выполненный на любом материале от руки, в глазомерном масштабе, но с соблюдением пропорций элементов детали, называется эскизом.

Существуют ограничения формы – это отношения между элементами контура (например, перпендикулярность между двумя линиями, касание между дугой и линией и т. п.) и размеров (система генерирует точный контур, удовлетворяющий данным размерам). Изменение геометрических ограничений и/или размеров приводит к различным телам, получаемых в результате данных операций. Этот подход и называется параметрическим моделированием,потому что различные тела генерируются путем изменения параметров. Параметрами могут быть некоторые константы, входящие в геометрические и/или размерные ограничения, алгебраические ограничения. Ограничения (равно как и декларативные конструктивные элементы) не основаны на истории построения - т.е. при трансляции в другую систему нужно просто передать список ограничений вместе с геометрией - и все.

Фичерсы — параметризованные объекты, привязанные к определенному геометрическому контексту. При модификации модели привязка сохраняется с соответствующей корректировкой фичерсов. Фичерсы — привычные пользователю конструкционно-технические элементы, такие как отверстия, фаски, скругления, ребра жесткости, центральные отверстия, канавки, которые помнят о своем окружении независимо от внесенных изменений. Возможно автоматически создавать любой объект и элемент (фаски, скругления) просто указывая их местоположение. После этого они остаются привязанными к грани при любом ее перемещении.

Функции параметрического моделирования создают тело перемещением параметрического плоского контура и накладыванием ограничений. Вращение или перемещение – sweeping, натягивание – skinning, поворот (вращение плоского контура) – swining, наложение ограничений и скругление поверхностей (фасок).

Функции заметания используют плоский замкнутый параметрический контур для получения модели тела. В этих функциях контур перемещается или вращается в пространстве чтобы сформировать тело. На рис. в одном случае получается тело протягивания, во втором - вращения.

Функция натягивания генерирует тело, создавая поверхность типа оболочки, заключающей некоторый объем для заданного набора сечений тела. Функции моделируют каркас тела очень близко к истинному каркасу, потому что базовые сечения описывают результирующее тело точно.

Функции сопряжения и скругления используются главным образом для модификации существующего каркаса тела.

Внесение изменений и перенос решений на новые платформы (технология синхронного моделирования).

До создания синхронной технологии существовали два основных способа 3D моделирования. Исторически первыми были системы с деревом построения. В них имеется графический интерфейс для отображения этот дерева, который допускает несложные манипуляции с ним. Между элементами дерева сохраняются взаимоотношения типа «родитель-потомок». Размеры и взаимосвязи задаются, сохраняются и отслеживаются в дереве построений.

Второй способ - системы без дерева построения, или системы прямого моделирования, не использующие конструктивные элементы и практически не поддерживающие управление моделью при помощи размеров и геометрических взаимосвязей. Они базируются на B-Rep. Такие системы работают быстро и гибко, поскольку пересчет модели происходит только локально, в месте ее редактирования. Изменение предсказуемы и не требуют разработки стратегии. Синхронная технология является дальнейшим развитием технологии прямого моделирования, существующей как в Solid Edge, так и в NX сравнительно давно

Технология синхронного моделирования позволяет импортировать геометрию из других САПР, реализуя поэлементное моделирование без дерева построения и истории создания, задавая и синхронизируя параметры и правила проектирования в момент редактирования модели. Синхронная технология разработана на основе геометрического ядра Parasolid, набора интегрированных модулей D-Cubed, использует пользовательский интерфейс в стиле Microsoft Office 2007, ленточное меню и воплощена в последних версиях продуктов Solid Edge, NX и CAM Express, анонсированных компанией Siemens PLM Software после 2008 г.

Визуализация используется как процесс представления данных для их более наглядного изображения и, в переносном значении, для описания психологических, литературных и др. процессов и понятий. Визуализации позволит рассмотреть модели зданий любым углом, увидеть множество движущихся людей и автомобилей, добавить растительность, световые блики, отражения в стёклах и полированных полах, показать реалистичные тени и воду. Наиболее распространена двумерная визуализация — изображение на плоскости и 3D - визуализация (на основе компьютерной техники и программного обеспечения - анимация, псевдостереоскопия).

Рассмотрим структуры данных в различных форматах для однозначного математического описания тел. Можно выделить три основных структуры данных для твердотельного моделирования:

1. Представление конструктивной объемной геометрии (constructive solid geometry -CSG). CSG представление сохраняет в некотором графе хронологию применения булевых операций на примитивах. Этот граф называют CSG деревом.

2. Граничное представление (boundary representation, B-Rep) сохраняет граничную информацию для тела (вершины, ребра и грани вместе с информацией относительно того, как они связаны между собой). Эту структуру данных называют B-Rep структурой данных. Последовательность ребер для каждой грани определяется против часовой стрелки, когда тело рассматривается с его внешней стороны. Это правило позволяет иметь информацию о том, где находится внутренняя и внешняя часть тела, т.е. можно для любой точки определить, расположена ли она на внутренней или внешней части тела.

3. Декомпозиционная модель (decomposition model) сохраняет тело как агрегат из простых тел типа параллелепипедов. Можно выделить три типа таких моделей:

- Вокселные модели;

- Модели в форме дерева октантов (octree);

- Ячеечные модели.

4. Математические модели на микроуровне. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем, определение производных, явные и неявные методы, алгоритм решения.

Идея метода конечных элементов, создание сетки, библиотеки конечных элементов, ансамблирование, алгоритм применения метода.

Модели микроуровня – в техническом аспекте это задачи математической физики, к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформации твердых тел и многое другое. Система дифференциальных уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье-Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т.д.), но точное решение удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели.

Под сходимостью подразумевается постепенное приближение последовательных решений к предельному, правильному.

Основные понятия теории разностных схем — понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости.

Сходимость разностной схемы означает, что при достаточно малом шаге значения сеточного (приближенного) и точного решения мало отличаются.

Аппроксимация на решение означает, что при подстановке точного решения дифференциальной задачи в разностную схему мы получаем невязку соответствующего порядка малости (идеально бы иметь нуль).

Устойчивость означает, что малые возмущения в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому изменению решения.

Производная df(x)/dx= lim (fx-f0)/(x-x0). Обычно x-xi = h(шаг). Тогда производная определяется в зависимости от нахождения соседних точек разбиения (так называемого шаблона). Замещение частных производных в уравнениях матфизики разностными выражениями позволяет получить приближенное решение системы алгебраических уравнений в узлах сетки.

Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке При применении явных методов происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает, что в решении задачи возникают ложные колебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудой и быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.

Неявные методы требуют для устойчивости и сходимости малых шагов. Среди неявных разностных методов устойчивы методы Эйлера, методы второго порядка (основаны на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера) и среди них — метод трапеций. Метод интегрирования СОДУ называют A-устойчивым, если погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге .

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей:

- Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства.

- Нумерация узлов сетки.

- Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки.

- Запись уравнений граничных условий для приграничных узлов.

- Решение системы алгебраических уравнений.