![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотренные выше процессы вращения прямой линии и плоской фи-гуры вокруг одной проецирующей оси
не позволяли преобразовывать проек-ции прямой общего положения в проек-ции её проецирующего положения, рав-но как проекции плоской фигуры обще-го положения в её проекции в положе-нии плоскости уровня. Для таких преоб-разований требовалось два последова-тельных вращения вокруг двух проеци-рующих осей.
Если принять в качестве оси вра-щения ту или иную линию уровня, то графическое решение этих задач резко упрощается за счет одного преобразо-вания исходных проекций в искомые и уменьшения числа графических опера-ций.
Геометрически ситуация представ-ляется следующим образом (рис.11.14):
Дано: П1 – горизонтальная плоско-сть проекций; точка А и горизонтальная прямая h.
Требуется: Приняв горизонтальную прямую h за ось вращения і, повернуть вокруг неё точку А прежде до совмеще-ния с вертикальной плоскостью b, про-ходящую через h, а затем,- с горизон-тальной плоскостью g, также проходя-щей через h.
Решение: По законам вращения
точки вокруг прямой линии:
1. Плоскость a её вращения пер-пендикулярна к оси вращения. Так как эта ось горизонтальна, то эта плоскость вертикальна и вырождается на П1 в пря-мую линию a1 ^ і1;
2. Центр О вращения точки А во-круг оси і является точкой их пересече-ния: О = a ´ і;
3. Радиусом RA вращения точки А вокруг оси і является отрезок ОА в ис-ходном общем положении. Но, так как он вращается вокруг оси і вместе с точкой А, то в своём движении проходит два частных положения: вертикальное (ко-гда его горизонтальная проекция выро-ждается в точку и совпадает с О1 ≡ h1) и горизонтальное, (когда он проецируется
на П1 в свою натуральную величину);
![]() |
Рис11.15. Определение длины от-
резка АВ и углов его наклона к плоскостям проекций П1 и П2
![]() |
Р ис.11.16. Определение натуральной величины треугольника АВС для
вычисления его площади и других
метрических характеристик
4. Так как горизонтальная прямая h и не лежащая не ней точка А задают в пространстве некоторую плоскость s общего положения, то, подобно RA , вращаясь, эта плоскость проходит че-рез два частных положения: проециру-
ющее и уровня.
Из этих двух частных положений прямой и плоскости наибольший прак-тический интерес представляет поло-жение уровня, так как их проекции в таком положении содержат максимум информации об их внутренней метрике.
Вывод: Для того, чтобы графи-чески смоделировать момент совпа-дения вращающегося вокруг горизон-тальной оси отрезка ОА или плоской фигуры s с плоскостью уровня g, про-ходящей через эту ось, необходимо и достаточно отложить на горизонта-льном следе a1 плоскости a вращения точки А от проекции О1 натуральную величину радиуса её вращения и тем самым зафиксировать плоскость s в положении горизонтальной плоскости уровня.
11.3.1. Графические решения некоторых метрических задач способом совмещения
Задача №1. Определитьдлину отрезка АВ прямой а общего положения и углы его наклона к осям вращения h и f и плоскос-
тям проекций П1 и П2. (рис. 11.15, а, б).
Решение: 1. А Î (h º i) (рис.12.15, а)
h2 ^ A2 A1 , h1 - произвольно;
А Î (h º i) Þ A º A1 ;
2. B Î b ^ i; B1 Î b1 ^ i1;
3. O = b ´ i; O1 = b1 ´ i1; O2 Î i2;
4. OB = RB; O1B1 = R1, O2B2 = R 2;
5. O Î i1 ^ П2; і12 º О2, і1 Î О1 ‖ А1 А2;
6. R2 ↷ R12 ^ A2 A1;(B1 ® B11)^ A2 A1 ;
O1 B11 = | RB |;
7. | RB | ↷| R1 B | º b 1; A11 B21 = | AB |,
(определяется в миллиметрах);
8. Ð | AB |, h1 = | l ° |.
(определяется в градусах).
Для определения угла наклона отрезка АВ к плоскости П1 необходимо и достаточно
принять проекцию А1В1 за прилежащий ка-тет прямоугольного треугольника, гипоте-нузой которого является натуральная вели-
чина | AB | отрезка АВ, и угол j ° между кото-рыми является искомым.
Для определения углов между отрезком АВ, осью вращения f º і и плоскостью П2 не-обходимо прежде произвести все графичес-кие операции по нахождению его длины и угла наклона m° к f аналогично описанным в п.п. 2 – 8, а затем, приняв проекцию А2В2 за прилежащий катет прямоугольного треуго-льника, гипотенузой котрого является нату-оальная величина | AB | отрезка АВ и угол y °
между которыми является искомым.
Задача №2. Определить площадь треугольника АВС плоскости a общего положения (рис. 11.16)
Решение: 1. a É h;
h2 ^ A 2 A1, h1 É A1 11;
2. По алгоритму решения задачи № 1
(см. п.п. 2 – 7) горизонтальная проекция
А1В1 стороны А В общего положения преоб-разуется в проекцию А1 В11, равную нату-ральной величине стороны АВ, совпавшей с горизонтальной плоскостью уровня, прохо-дящей через горизонтальную ось вращения
і º h.
3. Так как вершина С конструктивно связана с вершиной В, то её горизонталь-ная проекция С1, после преобразования В1 в В11 , соответственно преобразуется в С11 как точку пересечения горизонтального следа g 1 плоскости её вращения с натуральной ве-личиной В11 С11 стороны ВС, определяемой точкой В11 и точкой 11 её пересечения с осью вращения і.
Соединив С11 с А1, получаем треуголь-ник А1 В11С11, конгруэнтный треугольнику АВС. Его площадь вычисляется как полу-произведение значения длины любой его стороны, принятой за основание, на значе-ние опущенной на неё высоты.
Следует особо отметить, что горизонта-льная проекция А1В1С1 треугольника АВС и его натуральная величина являются род-ствеными фигурами, так как образуют де-заргову конфигурацию (см. рис.9.30).
Задача №3. В плоскости a ( f ´ h ) общего положения изобразить правильный шестиугольник (рис.10.17)
Анализ условия: Так как данный прави - льный шестиугольник лежит в плоскости об-щего положения, то его ортогональные про-екции не являются правильными шестиуго-льниками. Поэтому для решения задачи следует прежде преобразовать проекции плоскости a общего положения в проекции
этой же плоскости в горизонтальном поло-
жении, затем изобразить в этом положении
![]() |
Рис.11.17. Построение проекций правильного шестиугольника в плоскости общего положения
![]() |
Рис. 11.18. Построение истинного вида плоской фигуры по её ортогональным проекциям вращением вокруг её фронтального следа
![]() |
Рис. 11.19. Определение натуральной величины угла наклона прямой а к плоскости a
плоскости правильный шестиугольник и об-ратным преобразованием построить его искомые ортогональные проекции.
Решение: 1. Принять горизонталь h плоскости a за ось вращения: h º і;
2. Взяв на фронтали f произвольную то-чку К (К2, К1), повернуть её до совмещения с горизонтальной плоскостью уровня, проходящей через горизонталь h;
3. В совмещенном с плоскостью уровня положении плоскости a построить прави-льный шестиугольник АВСDEF;
4. Горизонтальную проекцию этого шес-тиугольника строить как фигуру, гомологич-ную его натуральной величине при оси го-мологии – оси вращения і и несобственном центре гомологии, ортогонально сопряжен-ном с её осью;
5. Искомую фронтальную проекцию ше-стиугольника строить как фигуру, гомологи-чную её горизонтальной проекции при на-правлении родства по линиям связи и оси гомологии, определяемой двумя точками пересечения разноименных проекций линий уровня f и h, задающих плоскость a.
Если не прибегать к аппарату гомоло-гии, то искомые проекции данного шести-угольника следует строить на основе гра-фического моделирования отношений при-надлежности его сторон и вершин к данной плоскости a.
Задача №4. Построить истинный вид плоской фигуры способом вращения во-круг её фронтального следа f02 . (рис.11.18).
Решение:По своему содержанию ре- шение этой задачи не отличается от ре-шений задач №2 и №3, а по форме неприн-ципиальное различие определяется тем, что осью вращения является фронтальный след данной фигуры, вращением вокруг ко-торого она совмещается с фронтальной плоскостью проекций.
Построения на рис.11.18 не требуют комментариев.
Задача №5. Определитьнатуральную величину угла наклона прямой а общего положения к плоскости a (m ´ n) общего положения a (рис.11.19, а, б)
Анализ условия: Известно, что уголме-жду прямой линией и плоскостью опре-деляется значением линейного между этой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. По условию данные плоско-сть и прямая занимают в пространстве об-щее положение и в общем случае пересека-ются к точке В (рис. 11.19, а). Для того, что-бы получить ортогональную проекцию а¢ прямой а на плоскость a, необходимо из точки А опустить на неё перпендикуляр р и найти его основание К. В полученном пря-моугольном треугольнике АКВ угол j ° меж-ду гипотенузой АВ и прилежащим катетом КВ будет искомым. Но, для того, чтобы по-строить его комплексный чертёж, необходи-мо на нем предварительно решить две позиционные задачи но построению точек В и К, что представляется громоздким.
Если обратить внимание на угол y ° ме-жду прямой а перпендикуляром р, то его значение будет дополнять значение иско-мого угла j ° до 90°. Поэтому, проведя в плоскости b (а ´ р) горизонталь h и по-вернув вокруг неё угол y ° при вершине А, до горизонтального положения, можно опре-делить значение угла j ° как разницу между углом 90° и дополнительным углом y °.
Решение: (рис. 11. 19, б):
1. А Î р ^ a;
А1 Î р1 ^ h°1; А 2 Î р2 ^ f2;
2. b (a ´ h) Î h º і
3. A1 Î s1 ^ h1;
4. O1 = s1 ´ i1 ; O2 Î i2;
5. OA = RA ;
O1 A1 = R 1 ; O2 A 2 = R 2;
6. A 2 O2 ↷ A12 ^ A1 A 2;
A1 ® A11 ^ A 1 A 2;
7. O1 A11 = R 11 = | R |;
8. O1 A21 = | R |;
9. Ð a11 A21 p11 = | y ° |;
10. j ° = 90 ° - y °
Задача №6. Определить натуральную ве-личину двугранных углов между плоскос-тями a (fa ´ ha) и b (fb ´ hb) общего положения. (рис.11. 20 .а, б).
Анализ условия: Известно, что двепло-скости, пересекаясь, образуют два разных по величине двугранных угла j ° и y °, в сумме составляющих 180°. Мерой любого из этих двугранных углов является линейный угол, стороны которого инцидентны его граням и перпендикулярны к его ребру. Для того, чтобы решить эту задачу, не строя проекций этого линейного угла, достаточно из точки А вне этих плоскостей опустить на них перпендикуляры р и q и вращением во-
круг линии уровня их плоскости определить натуральную величину угла между ними.
Этот угол будет дополнять искомый до 180°.
Решение: (рис. 11.20,. б).
1. А Î р ^ a; р1 ^ h1 a; p2 ^ f 2a;
2. A Î q ^ b; q1 ^ h1 b; q2 ^ f2 b;
3. s (р ´ q) É h º і;
4. см. п.п 4 – 9 решения задачи №5;
10. j ° = 180° - y °
![]() |
Рис. 11.20. Определение натуральной величины двугранного угла между двумя плоскостям общего положения
![]() |
Рис.11.21. Графическое решение первой
основной задачи на прямую, п. 1.1.
![]() |
Рис. 11.22. Графическое решение второй основной задачи на прямую,
п. 1.2.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!