Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) опре­делены в проколотой окрестности (x₀) точки x₀, причем для любого x (x₀) выпол­няется неравенство f (x)≥g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы и то a ≥ b.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы a < b, и пусть . Тогда существует δ₁ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| < δ₁ имеет место не­равенство |f (x) — a| < ε, т.е. a — ε< f (x) < a + ε. Аналогично существует δ₂ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ₂ выполняется неравенство |g(x) — b| < ε, т.е. b—ε< g(x) < b+ε.

Если δ = min(δ₁, δ₂), и 0 < |x — x₀| <δ, то , т.е. f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.

Замечание. Если в условии теоремы неравенство f (x) ≥g(x) заменить на строгое, т.е. если f (x) > g(x), то отсюда, вообще говоря, не следует, что a > b. Например, при |x| < 1, x = 0, имеем |x| > x². В то же время