Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Пусть мгновенная ЭДС задаётся уравнением:

. На комплексной плоскости вращающийся вектор:

.

Мгновенная фаза:

.

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение ЭДС и обозначается символом Im.

. Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел

. Комплексное число Ė_m, соответствующее положению вектора в начальный момент времени называют комплексной амплитудой:

. Комплексное число e^j∙ω∙t является оператором поворота вектора на угол ω∙t относительно начального положения вектора.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака? произведения комплекса амплитуды Ė_m и оператора вращения e^j∙ω∙t:

. Переход от одной формы записи, к другой, осуществляется с помощью формулы Эйлера: , где

- показательная (полярная) форма,

- тригонометрическая. Чтобы преобразовать в показательную:

, .

Применение комплексных чисел позволяет от геометрического сложения или вычитания векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов.

Если гармонически изменяющаяся величина представлена в виде косинусоидальной функции времени:

то её мгновенное значение равно действительной части произведения комплексной амплитуды и оператора вращения.

2) Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица

На комплексной плоскости вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

3) Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней. Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в научных исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках —электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

4) Модулем комплексного числа называется – длина вектора, изображающего комплексное число. Модуль комплексного числа обозначается , а также буквой r.

r= Угол между осью абцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число , называется аргументом комплексного числа Каждое неравное нулю комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов.