Операции над множествами. Диаграммы Эйлера

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Венн Джон (1834—1923) — английский логик, профессор, член Королевского общества [24, с. 82].

Чтобы повысить наглядность представления множеств и отношений между ними, используют диаграммы

Венна (иногда их называют диаграммами Эйлера [14], кругами Эйлера [16], диаграммами Эйлера-Венна [46]) в виде замкнутых кривых, ограничивающих области, которым ставятся в соответствие элементы тех или иных множеств. На рис. 1 показаны два множества:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

K = {1, 2, 3}.

Непосредственно из диаграммы видно, что K ⊂ P. Если требуется показать, что множества не имеют общих элементов, эти множества изображают непересекающимися кругами. На рис. 2 непересекающимися являются множества B = {a, b}; C = {e, f}.

Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества (иногда используется термин «полное множество» [24, с. 454], а также «универсум» [14, с. 7]). Обозначается оно обычно символом I (либо U). Множество I — это множество

всех тех элементов, которые участвуют в данном рассуждении. Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества. Например, если рассматриваются различные множества целых положительных чисел за исключением

нуля, то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел. 14 На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников, внутри которых размещаются круги, обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств. На рис. 3 показан пример универсального множества I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7), где P —множество четных простых чисел, а Q — множество всех

простых чисел, меньших 10.В общем случае универсальным может быть любое непустое множество.