Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства

Линейная зависимость векторов
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация, при не равных нулю одновременно ai, т.е..
Если же только при ai = 0 выполняется, то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.
В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.
Некоторые свойства базиса:
Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).
Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.