Свойства. Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M — базисный минор матрицы A, тогда:

Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M — базисный минор матрицы A, тогда:

· базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

· любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

· Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

· Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

· Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

· Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны для матриц, полученных друг из друга

Теорема Кронекера — Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.