![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При рассмотрении поверхностей вращения мы определили простейший цилиндрическую поверхность – цилиндр вращения, то есть круговой цилиндр.
В элементарной геометрии цилиндр определён по аналогии с общим определением призмы. Оно достаточно сложное:
▫ пусть имеем в пространстве плоский многоугольник – обозначим как
, и с ним совпадает многоугольник
– обозначим как
;
▫ применим к многоугольнику движение параллельный перенос: точки
перемещаются по траекториям, параллельным заданному направлению
;
▫ если остановить перенос многоугольника , то его плоскость
параллельна плоскости
;
▫ поверхностью призмы называют: совокупность многоугольников ,
– основания призмы, а также параллелограммов
,
,... – боковая поверхность призмы.
Воспользуемся элементарным определением призмы для построения более общего определения призмы и её поверхности, а именно, будем различать:
▫ неограниченная призма – это многогранное тело, ограниченное рёбрами ,
,... и плоскостями между этими рёбрами;
▫ ограниченная призма – это многогранное тело, ограниченное рёбрами ,
,... и параллелограммами
,
,...; боковая поверхность этой призмы – совокупность параллелограммов
,
,...; основания призмы – совокупность многоугольников
,
.
Пусть имеем неограниченную призму: ,
,... Пересечём эту призму произвольной плоскостью
. В сечении получим многоугольник
. Пересечём эту же призму другой плоскостью
. В сечении получим многоугольник
. В общем случае считаем, что плоскость
не параллельна плоскости
. Это значит, призма построена не параллельным переносом многоугольника
.
Предложенное построение призмы включает не только прямые и наклонные призмы, но и любые усечённые.
В аналитической геометрии цилиндрические поверхности будем понимать настолько обобщённо, что неограниченный цилиндр включает неограниченную призму как частный случай: стоит лишь предположить, что многоугольник можно заменять произвольной линией, не обязательно замкнутой – направляющая цилиндра. Направление называют образующей цилиндра.
Из всего сказанного следует: для определения цилиндрической поверхности необходимо задать линию-направляющую и направление образующей.
Цилиндрические поверхности получают на основе плоских кривых 2-го порядка, служащих направляющими для образующих.
На начальном этапе изучения цилиндрических поверхностей примем упрощающие допущения:
▫ пусть направляющая цилиндрической поверхности всегда располагается в одной из координатных плоскостей;
▫ направление образующей совпадает с одной из осей координат, то есть перпендикулярна плоскости, в которой определена направляющая.
Принятые ограничения не приводят к потере общности, так как остаётся возможность за счёт выбора сечений плоскостями и
строить произвольные геометрические фигуры: прямые, наклонные, усечённые цилиндры.
Эллиптический цилиндр.
Пусть в качестве направляющей цилиндра взяли эллипс :
, расположенный в координатной плоскости
, а направление образующей определяет ось
. В этом случае уравнение цилиндра – это сама линия
: эллиптический цилиндр.
Гиперболический цилиндр.
Пусть в качестве направляющей цилиндра взяли гиперболу :
, расположенную в координатной плоскости
, а направление образующей определяет ось
. В этом случае уравнение цилиндра – это сама линия
: гиперболический цилиндр.
Параболический цилиндр.
Пусть в качестве направляющей цилиндра взяли гиперболу :
, расположенную в координатной плоскости
, а направление образующей определяет ось
. В этом случае уравнение цилиндра – это сама линия
: параболический цилиндр.
Замечание: учитывая общие правила построения уравнений цилиндрических поверхностей, а также представленные частные примеры эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров, отметим: построение цилиндра для любой другой образующей, для принятых упрощающих условий, не должно вызвать никаких затруднений!
Рассмотрим теперь более общие условия построения уравнений цилиндрических поверхностей:
▫ направляющая цилиндрической поверхности располагается в произвольной плоскости пространства ;
▫ направление образующей в принятой системе координат произвольно.
Принятые условия изобразим на рисунке.
В соответствии с рисунком будем считать:
▫ направляющая цилиндрической поверхности располагается в произвольной плоскости
пространства
;
▫ система координат получена из системы координат
параллельным переносом;
▫ расположение направляющей в плоскости
наиболее предпочтительное: для кривой 2-го порядка будем считать, что начало координат
совпадает с центром симметрии рассматриваемой кривой;
▫ направление образующей произвольное (может быть задано любым из способов: вектором, прямой и др.).
В дальнейшем будем считать, что системы координат и
совпадают. Это означает, что 1-й шаг общего алгоритма построения цилиндрических поверхностей, отражающий параллельный перенос:
→
, предварительно выполнен.
Напомним, как учитывается параллельный перенос в общем случае, рассмотрев простой пример.
☺☺
Пример 6 – 13: В системе координат задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=0. Записать уравнение этой направляющей в системе
.
Решение:
1). Обозначим произвольную точку : в системе
как
, и в системе
как
.
2). Запишем векторное равенство: =
+
. В координатной форме это можно записать в виде:
=
+
. Или в виде:
=
–
, или:
=
.
3). Запишем уравнение направляющей цилиндра в системе координат
:
=0.
Ответ: преобразованное уравнение направляющей: =0.
☻
Итак, будем считать, что центр кривой, представляющей направляющую цилиндра, всегда располагается в начале координат системы в плоскости
.
Рис. В. Базовый рисунок при построении цилиндра.
Сделаем ещё одно допущение, упрощающее заключительные шаги построения цилиндрической поверхности. Так как применением вращения системы координат нетрудно совместить направление оси системы координат
с нормалью плоскости
, а направления осей
и
с осями симметрии направляющей
, то будем считать, что в качестве исходного положения направляющей
имеем кривую, расположенную в плоскости
, причём одна её ось симметрии совпадает с осью
, а вторая с осью
.
Замечание: так как выполнение операций параллельный перенос и вращение вокруг неподвижной оси операции достаточно простые, то принятые допущения не сужают применимость разрабатываемого алгоритма построения цилиндрической поверхности в самом общем случае!
Мы видели, что при построении цилиндрической поверхности в случае, когда направляющая располагается в плоскости
, а образующая параллельна оси
, достаточно определить только направляющую
.
Так как цилиндрическая поверхность может быть однозначно определена заданием любой линии, получаемой в сечении этой поверхности произвольной плоскостью, то примем такой общий алгоритм решения задачи:
1▫. Пусть направление образующей цилиндрической поверхности задано вектором
. Спроектируем направляющую
, заданную уравнением:
=0, на плоскость, перпендикулярную направлению образующей
, то есть на плоскость
. В результате цилиндрическая поверхность будет задана в системе координат
уравнением:
=0.
2▫. Применим вращение системы координат вокруг оси
на угол
: смысл угла
вполне понятен из рисунка. В результате вращения система координат
совместится с системой
, а уравнение конической поверхности преобразуется в уравнение:
=0.
3▫. Применим вращение системы координат вокруг оси
на угол
: смысл угла
вполне понятен из рисунка. В результате вращения система координат
совместится с системой
, а уравнение конической поверхности преобразуется в
=0. Это и есть уравнение цилиндрической поверхности, у которой были заданы направляющая
и образующая
в системе координат
.
Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию записанного алгоритма и вычислительные трудности подобных задач.
☺☺
Пример 6 – 14: В системе координат задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Решение:
1). Спроектируем направляющую цилиндра на плоскость, перпендикулярную . Известно, что такое преобразование заданную окружность превращает в эллипс, осями которого будут: большая
=9, а малая
=
.
Этот рисунок иллюстрирует проектирование окружности, заданной в плоскости на координатную плоскость
.
2). Результатом проектирования окружности является эллипс: =1, или
. В нашем случае это:
, где
=
=
.
3). Итак, уравнение цилиндрической поверхности в системе координат
получено. Так как по условию задачи мы должны иметь уравнение этого цилиндра в системе координат
, то остаётся применить преобразование координат, переводящее систему координат
в систему координат
, заодно и уравнение цилиндра:
в уравнение, выраженное через переменные
.
4). Воспользуемся базовым рисунком, и запишем все необходимые для решения задачи тригонометрические значения:
=
=
,
=
=
,
=
=
.
5). Запишем формулы преобразования координат при переходе от системы к системе
:
(В)
6). Запишем формулы преобразования координат при переходе от системы к системе
:
(С)
7). Подставляя переменные из системы (В) в систему (С), а также учитывая значения используемых тригонометрических функций, запишем:
=
=
.
=
=
.
8). Остаётся подставить найденные значения и
в уравнение направляющей цилиндра
:
в системе координат
. Выполнив аккуратно все алгебраические преобразования, получаем уравнение конической поверхности в системе координат
:
=0.
Ответ: уравнение конуса: =0.
Пример 6 – 15: В системе координат задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9,
=1. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Решение:
1). Нетрудно заметить, этот пример отличается от предыдущего только тем, что направляющую параллельно перенесли на 1 вверх.
2). Это значит, что в соотношениях (В) следует принять: =
–1. Учитывая выражения системы (С), скорректируем запись для переменной
:
=
.
3). Изменение легко учитывается коррекцией конечной записи уравнения для цилиндра из предыдущего примера:
=0,
или =0,
Ответ: уравнение конуса: =0.
☻
Замечание: нетрудно заметить, что основная трудность при многократных преобразованиях систем координат в задачах с цилиндрическими поверхностями – это аккуратность и выносливость в алгебраических марафонах: да здравствует система образования, принятая в нашей многострадальной стране!
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1550 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!