Примеры решения задач. Задача 8.Доказать, множество Q[ ]= образует кольцо

Задача 8. Доказать, множество Q[ ]= образует кольцо. Классифицировать это кольцо. Выяснить является ли оно областью целостности, полем.

Решение. Для доказательства воспользуемся определением кольца.

а) Имеем множество Q[ ]=

Сначала докажем что на данном множестве заданы бинарные операции «+» и «». Для этого возьмем два произвольных элемента из данного множества, найдем их сумму и произведение и проверим, принадлежат ли они опять множеству Q[ ]

a + b , c + d Q[ ], (a + b ) + (c + d ) = (a + c) +(b + d) .

Очевидно, что , следовательно сумма принадлежит Q ;

(a + b ) (c + d ) = (ac + 3bd)+ (ad + bc) Q[ ]. Очевидно, что , следовательно произведение элементов из Q[ ] опять принадлежит этому множеству. Таким образом, множество Q[ ], относительно операций сложения и умножения образует алгебру.

Проверим выполнение аксиом кольца. Пусть произвольные элементы множества Q[ ].

1. ;

2.

3. Очевидно, что , следовательно - нейтральный элемент, относительно сложения.

4. , следовательно элемент вида является симметричным относительно сложения для .

5.

6.

Все аксиомы кольца выполняются, следовательно, множество Q[ ] относительно операций сложения и умножения образует кольцо.

Классифицируем это кольцо.

1. Множество Q[ ] – бесконечно, следовательно - бесконечное кольцо.

2. Выясним, является ли оно коммутативным.

Так как множество Q[ ] является подмножеством R, а на множестве действительных чисел умножение коммутативно, то – коммутативное кольцо.

3. Выясним, является ли - кольцом с единицей.

Так как Q[ ] R, 1 Rи1=1 +0 Q[ ], т. к. 1, 0 Q, то является кольцом с единицей.

4. Выясним, есть ли в кольце делители нуля.

Воспользуемся определением 4.3. Пусть a + b 0, т. е. a 0 и b 0. Решим уравнение и найдем элемент

= .

Решим эту систему относительно х и y.

+

или и

Если , но т. к. a, b, Q, то следовательно, и , т.е. = .

Таким образом получили: произведение равно 0 при условии, что одно из чисел равно 0. Это означает, что в кольце делителей нуля нет.

Из 1), 2) и 4) следует, что область целостности.

Выясним является ли эта область целостности полем. Для этого выясним для каждого ли отличного от нуля элемента этого кольца есть ему обратный. Так как Q[ ] R и R – поле, то любой ненулевой элемент из R обратим и обратным для действительного числа x будет R.

Рассмотрим элемент , тогда = . Найдем этот элемент и проверим принадлежит ли он множеству Q[ ].

= = + ,

т.к. , то и , Q, то Q[ ]. Таким образом, каждый ненулевой элемент кольца Q[ ] обратим, следовательно, кольцо является полем.