Определение и классификация колец

Определение 4.1. Алгебра с основным множеством К, бинарными операциями сложения и умножения называется кольцом, если операции удовлетворяют следующей системе аксиом:

1. Сложение коммутативно:

2. Сложение ассоциативно:

3. Относительно сложения существует нейтральный элемент (нуль кольца):

4. Относительно сложения для каждого элемента из К существует симметричный:

5. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

6. Умножение ассоциативно:

Определение 4.2. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным.

Определение 4.3. Отличные от нуля элементы а и b к ольца К называются делителями нуля в К, если или .

Пример. В кольце квадратных матриц вида есть делители нуля. Действительно, рассмотрим две матрицы отличные от нулевой: и , . Найдем их произведение = . Так как произведение ненулевых элементов кольца равно нулю кольца, то по определению 4.3 элементы и являются делителями нуля в кольце квадратных матриц второго порядка.

Определение 4.4. Элемент называется единицей кольца К, если .

Основные классификации колец.

1. По числу элементов в основном множестве кольца различают

- конечные кольца (основное множество кольца состоит из конечного числа элементов);

- бесконечные кольца (основное множество кольца состоит из бесконечного числа элементов);

2. По дополнительному свойству бинарной операции различают

- коммутативные кольца;

- некоммутативные кольца

3. По наличию делителей нуля различают

- кольца с делителями нуля;

- кольца без делителей нуля.

4. По наличию в кольце единицы различают

- кольца с единицей;

- кольца без единицы.

Определение 4.5. Коммутативное кольцо с единицей, без делителей нуля называется областью целостности.

Определение 4.6. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент обратим, называется полем.

Замечание. Определение поля может быть сформулировано аксиоматически, учитывая определение кольца (сформулировать самостоятельно).