Пример аналитического моделирования простейшей СМО

Моделирование системы с одним обслуживающим аппаратом и очередью к нему.

- Допустим, что процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в очереди. Тогда состояние СМО описывается следующей системой уравнений:

где Pn(t) - вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени t.

- Модель получена из рассуждений, что вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t+Δt) равна вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время Δt в систему не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (n -1) заявок в момент t, умноженная на вероятность того, что за время Δt поступит одна заявка и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (n +1) заявок в момент t, умноженная на вероятность того, что за время Δt одна заявка покинет систему и не поступит ни одной заявки.

- Упростим уравнения, сначала пренебрежем членами порядка малости (Δt)².Тогда

(1-λΔt) (1-µΔt) ≈ 1-(λ +µ)Δt;

λΔt (1-µΔt) ≈ λΔt;

µΔt (1-λΔt) ≈ µΔt.

- После подстановки получим:

Pn (t+ Δt) = Pn (t) [1-(λ +µ)Δt] + Pn-1 (t) λΔt + Pn+1 (t) µΔt, n≥1;

P0 (t+ Δt) = P0 (t) (1-λΔt) + P1 (t) µΔt, n=0.

- Следующий шаг решения данного уравнения - освобождение от Δt и получение дифференциальных уравнений. Для этого перенесем Pn (t) влево и устремим Δt к нулю. В итоге получим:

dPn(t) / dt = -(λ +µ) Pn(t) + λPn-1(t) + µPn+1(t), n≥1;

dP0(t) / dt = -λP0(t) + µP1(t), n=0.

- Решение дифференциального уравнения можно выполнить для стационарного состояния ρ = λ/µ <1. Приравняв нулю производные по времени и исключив таким образом время t из уравнений, получим систему алгебраических уравнений

(λ +µ) Pn = λPn-1 + µPn+1, n≥1;

λP0 = µP1, n=0.

Или (1 + ρ) Pn = ρPn-1 + Pn+1, n≥1;

P1 = ρP0, n=0.

- Далее попытаемся найти выражения для математического ожидания числа заявок, находящихся в очереди, и среднего времени ожидания в очереди. Для этого нам необходимо выразить Pn через величины исходных данных, т.е. ρ. Пусть в первом уравнении n=1. Тогда (1 + ρ) P1 = ρP0 + P2. Подставив сюда P1 из второго уравнения, находим P2 = ρ² P0. Повторяя эти операции для следующих n получим Pn = ρn P0.

- Далее учтем, что ∑Pn =1, так как это сумма вероятностей того, что в системе нет ни одной заявки, имеется одна заявка, две заявки и т.д., и сумма этих вероятностей равна единице, так как рассматриваются все возможные состояния (полная группа) системы. Поэтому ∑ ρn P0 =1, или ∑ ρn P0 = P0 ∑ ρn = P0 /(1-ρ) = 1. Откуда P0 = 1-ρ. Следовательно, P0 = ρn (1-ρ). Полученное выражение представляет собой геометрическое распределение, для него математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе (ОА):

mn = ∑n Pn = (1-ρ) ∑n ρn = ρ (1-ρ). Дисперсия:

Dn = ∑(n - mn)² Pn = ∑n² Pn - [ρ /(1-ρ)]² = mn + mn2.

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

Ln = ∑(n - 1) Pn = mn -ρ = ρ /(1-ρ) – ρ = ρ² /(1-ρ).

Среднее время ожидания заявок в очереди

t̂n = Ln / λ = ρ² /[λ(1-ρ)].

Планирование машинного эксперимента(выбор начальных условий)

Планирование эксперимента с программной моделью связано с вопросами эффективного использования ресурсов ЭВМ и определением конкретных способов проведения испытаний модели. Планирование эксперимента связано прежде всего с решением проблем:

1) определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании;

2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования.

Определение начальных условий и их влияние на результаты моделирования.

- Проблема из-за искусственного характера процесса функционирования модели, в отличие от реальной системы. Поэтому при очередном прогоне модели требуется определенное время для достижения установившихся режимов работы (занятия устройств и очередей, памятей), соответствующих условиям функционирования реальной системы. Начальный период работы модели искажается из-за влияния начальных условий запуска модели. Существует несколько способов, например:

а) Исключить из рассмотрения информацию о модели, полученную в начальной части периода моделирования, т.е. запоминать и обрабатывать результаты работы модели через достаточно большой период от начала моделирования, который соответствует установившемуся режиму.

б) Задавать такие начальные условия для модели, которые соответствовали бы работе реальной системы.

- Но все имеют недостатки, так в первом случае увеличивается значительно время моделирования, во втором подходе существует проблема - еще до начала моделирования надо знать условия работы реальной системы.

Планирование машинного эксперимента(обеспечение точности)

Планирование эксперимента с программной моделью связано с вопросами эффективного использования ресурсов ЭВМ и определением конкретных способов проведения испытаний модели. Планирование эксперимента связано прежде всего с решением проблем:

1) определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании;

2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования.

Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования.

При вероятностном моделировании абсолютно точных и достоверных результатов не бывает. Число испытаний должно стремиться к ¥. Инженер решает проблему: сколько нужно выполнить испытаний, чтобы достичь заданную точность. Или какова точность при заданном числе испытаний.

Пусть Е - показатель качества системы, Е' - оценка показателя качества системы, в общем случае Е‘ ≠ Е. При этом Е называется точностью (абсолютной) оценки. Вероятность того, что неравенство (Е – Е‘)<ε выполняется, называется достоверностью оценки Q = P {|Е – Е‘|<ε}.

Основным приемом при решении задач, когда закон распределения в сложных моделях неизвестен, является выдвижение предположений о характере законов распределения случайной величины.

Постановка задачи(2 вида):

1) задано N à найти Q, e

2) задано Q,e à найти N

Рассмотрим пример определения взаимосвязи точности и числа испытаний при расчете вероятности р свершения события А, где в качестве оценки вероятности выступает частность ṕ = P(A) = m/N, где m – число свершений события А.

m/N при достаточно больших N можно описывать нормальным законом распределения.

Пример: Чтобы оценить, как примерно соотносится число реализаций с точностью и достоверностью, рассмотрим пример расчета количества реализаций N, когда в качестве показателя эффективности используется вероятность p при достоверности Q = 0,95 (tj = 1,96) и точности ε=0,01; 0,02; 0,05.

Так как значения p до проведения моделирования (эксперимента) неизвестны, то вычислим множество оценок N для диапазона возможных значений p от 0 до 1 с шагом 0,1. Результаты расчетов представлены в табл.

Чаще всего на начальных стадиях моделирования, когда решается вопрос выбора количества реализаций N, значение p неизвестно. Поэтому на практике выполняют предварительное моделирование для произвольно выбранного значения N o, определяют po, а затем по точной формуле вычисляют, используя вместо p значение po необходимое количество реализаций N.

При очень высоких точностях по этим формулам невозможно оценить малые вероятности. Для оценивания малых вероятностей с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций. На практике, для оценивания вероятностей порядка p ~ 10-k, количество реализаций выбирают равным N = 10k+1. Очевидно, что даже для сравнительно простых моделей метод статистического моделирования приводит к большим затратам машинного времени.