Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор -го порядка не равен нулю, а все миноры -го равны нулю, то ранг матрицы будет равен .

Пример

Задание. Найти ранг матрицы , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы . Рассмотрим, например, минор . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы равен двум:

Ответ.

34. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

1. Если количество уравнений в системе больше количества неизвестных, то система называется переобусловленной. Если количество уравнений меньше количества неизвестных, то система называется недообусловленной.

2. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

3. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система, имеющая бесконечное количество решений, называется неопределенной.

4. Если все коэффициенты правых частей системы равны нулю, то система называется однородной. Если хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система уравнений всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение, x_i = 0 (i=1,2,…,n), называемое тривиальным.