Жүйенің оптималды параметрлері

Жалпы жағдайда функционал І жүйе параметрлері C_i (i = 1, 2, …, N) тәуелді және оның функциялары болады, яғни

I = I (C ₁, C ₂, …, C_N).

Оптималды жүйеге C_i параметрлерінің сондай мәндері сәйкес табылады, бұл кезде І өзінің минимумына жетеді. Ұйғарамыз, дөңес функция І минимумы бар және жалғыз, ал шектеулер жоқ.Онда минимум шарты І функциясының C_i (i = 1, 2, …, N) бойынша жеке туындыларын нольге теңеу арқылы табылады, яғни

. (6.57)

Векторлық белгілеу енгіземіз

C = (C ₁, C ₂, …, C_N)

– тік жолдық параметрлер векторы,

– градиент – жеке туындылардан құрастырылған тік жол. Онда (6.57) теңдеулер жүйесін бір векторлық теңдеу түрінде жазуымызға болады

.

Бұл теңдеудің шешімі C = C * оптималды параметрлер векторын анықтайды.

Мысал. Сурет 6.13 кескінделген қарапайым ілескіш жүйені қарастырайық. Ұйғарайық, бұл жүйенің біз таңдайтын параметрі, уақыттық тұрақты T ₁ болсын. Берілетін әсер секіруге ұқсас уақыт функциясы түрінде жүйеге қойылсын

және оның Лаплас бойынша бейнесі

.

Сурет 6.13

Қоздырушы әсер жоқ болсын. Кешеннің беру функциясы тең

.

Басқарушы құрылғының беру функциясы

.

Тұйықталмаған жүйенің беру функциясы

.

Осыдан, тұйықталған жүйенің берілген әсер бойынша беру функциясы тең болады

.

H (s) және G (s) үшін өрнектерді тұйықталған жүйенің теңдеуі

,

қою арқылы аламыз

.

Қателіктің тұрақталған мәні тең болғандықтан

,

онда

(6.58)

(6.54) және (6.57) формулаларын салыстыру арқылы, қорытындылаймыз, l = 2 және

Таблица 6.2 пайдаланып l = 2 үшін табамыз

. (6.59)

Тәуелділік I = I (K_б, T ₁) сапалық тұрғыдан сурет 6.14 кескінделген. K_б өскен кезде І монотонды кішірейеді және бойынша минимум бар. Бұл минимумды табу үшін (6.57) T ₁ бойынша дифференциалдаймыз және нәтижені нольге теңестіреміз

.

Осыдан уақыт тұрақтысының оптималды мәнін табамыз

.

T ₁ осы мәнін (6.59) өрнегіне қою арқылы аламыз

.

Сурет 6.14

Неғұрлым K_б үлкен болса, соғұрлым T ₁ таңдау арқылы І кіші минималдық мәніне жетуге болады. Осыған дейін бірнеше рет көрсетілгендей K_б → ∞ кезде біз идеалды жүйені аламыз.