Циклические коды Файра

Наиболее известным циклическим кодом, исправляющим одиночные пачки ошибок, являеться двоичный код Файра, причем для этого требуется небольшое число проверочных символов.

Образующий полином данного кода P(x) = q(x) (x^c+1), где q(x) – неприводимый многочлен степени t, принадлежащий степени m; с – простое число, которое не делиться на m без остатка.
Многочлен q(x) принадлежит некоторой степени m, если m – наименьшее положительное число такое, что двучлен (x^m+1) делится на q(x) без остатка. Для любого t существует, по крайней мере, один неприводимый многочлен q(x) степени t, принадлежащий показателю степени

m = 2^t-1

Например, если q(x) = x³+x²+1 (t=3), то m = 2^t – 1 = 7 и число c может принимать значения, которые не делятся на семь, т.е. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23 и т.д.
Длина кода Файра равна наименьшему общему кратному чисел c и m т.е.

n = НОК (c, m)

Число проверочных информационных символов

k= n- c –t

Можно получить код меньший длины с тем же числом проверочных символов, если пользоваться методом получения укороченных циклических кодов. При использовании кодов Файра можно исправить любую одиночную пачку ошибок длины b или меньше и одновременно обнаружить любую пачку ошибок длины l >= b или меньше, если c>=b+l-1 и t>=b.
Если применять эти коды только для обнаружения ошибок, можно обнаружить любую комбинацию из двух пачек ошибок, длина наименьшей из которых не превосходит t, а сумма длин обеих пачек не превосходит (с+1), а также любую одиночную пачку ошибок с длиной, не превосходящей числа проверочных символов r = c + t.
Пример:
Код Файра порождается полиномом P(x) = (x⁴+x+1)(x⁷+1) = x¹¹+x⁸+x⁷+x⁴+x+1.
Определить параметры кода.
Так как t=4, c=7, то, используя формулы, получаем m=24-1=15, n=НОК(7,15)=7*15 = 105 r=4+7=11; k=105-11=94.
Этот код может быть использован, например, для исправления пачки ошибок длины b=4 или меньше и обнаружения любой пачки ошибок длины l<=4 или для исправления пачек ошибок длины b=2 или меньше и обнаружения пачек ошибок длины l<=6. Если использовать этот код исключительно для обнаружения ошибок, можно обнаружить любую одиночную пачку ошибок длины <=(4+7) и любую комбинацию из двух пачек ошибок, длина наименьшей из который не превосходит t=4, а сумма их длин не превосходит c+1=8.