Теорема Котельникова. Любой сигнал с ограниченным спектром, с максимальной частотой fmax, может быть абсолютно точно воспроизведен по своим мгновенным значениям (отсчетам)

Любой сигнал с ограниченным спектром, с максимальной частотой f_max, может быть абсолютно точно воспроизведен по своим мгновенным значениям (отсчетам), если частота воспроизведения этих отсчетов не менее 2*f_max.

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой».

х	*

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда

где Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .

Дельта – период, Fmax = где — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

6. Функция отсчета и её свойства

Теорема Котельникова гласит, что если непрерывный сигнал x(t) имеет спектр, ограниченный частотой Fв, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени T=1/2Fв, т.е. с частотой f=2Fв.

Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции: Sa(x)=sin(x)/x

Котельниковым было доказано, что непрерывный сигнал, удовлетворяющий приведенным выше критериям, может быть представлен в виде ряда:

Поэтому функция Sa(x) называется функцией отсчета или функцией Котельникова.

Sa(x) – чётная функция. Эта функция имеет бесконечную протяженность во времени и достигает наибольшего значения, равного 1, в точке k=t/T, относительно которой она симметрична.

Данная функция является преобразованием Фурье для периодической стробирующей функции.