Режимы работы электрических цепей

Как указывалось выше, любая электрическая цепь состоит из источников и нагрузок (приемников). При включении различного количества приемников с изменением их параметров будут изменяться напряжения, токи и мощности в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов. Наиболее характерными являются следующие режимы: номинальный, согласованный, холостого хода и короткого замыкания.

Номинальным называется режим, при котором приемник работает со значениями тока, напряжения и мощности, на которые он рассчитан, и которые называются его номинальными (или техническими) данными. Номинальные мощности и токи многих элементов электрических цепей (двигателей, генераторов, резисторов и др.) устанавливаются, исходя из нагревания их до наибольшей допускаемой температуры. Номинальные данные указываются в справочной литературе, технической документации или на самом элементе.

С учетом номинальных напряжений и токов источников и приемников производится выбор проводов и других элементов электрических цепей.

Согласованным называется режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, достигает максимального значения. Это возможно при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи, откуда и вытекает название данного режима.

Под режимом холостого хода понимается такой режим, при котором приемник отключен от источника. При этом источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а приемник не потребляет ее.

Режимом короткого замыкания называется режим, возникающий при соединении между собой выводов источника, приемника или соединительных проводов, а также иных элементов электрической цепи, между которыми имеется напряжение. При этом сопротивление в месте соединения оказывается практически равным нулю. При коротких замыканиях могут возникать недопустимо большие токи, электрическая дуга, возможно резкое снижение напряжения, поэтому режим короткого замыкания рассматривают, как аварийный.

Энергетические установки работают чаще всего в режиме, при котором токи и мощности не превышают номинальных значений, а напряжения близки к номинальным.

Рассмотрим простейшую неразветвленную цепь (рис.1.14 а). В этой цепи участок amb представляет собой простейший пассивный двухполюсник, являющийся приемником, участок anb - простейший активный двухполюсник, являющийся источником.

Для рассматриваемой цепи по второму закону Кирхгофа можно написать:

Формула для определения соотношения между напряжением U и э.д.с. источника E, полученная из (1.16),

называется внешней характеристикой источника, которая связывает напряжения на зажимах источника с величиной тока через источник (рис.1.14 б).

Очевидно, что напряжение на зажимах источника U тем больше, чем меньше его внутреннее сопротивление при одном и том же токе через источник.

В идеальном источнике напряжения r₀=0, U=E во всем диапазоне изменения тока (рис.1.14 б кривая 2).

Если умножить (1.16) на ток I, то получим соотношение между мощностями

Произведение EI представляет собой мощность, вырабатываемую источником. Правая часть (1.18) содержит потери мощности во внутреннем сопротивлении источника I²r₀, и мощность, потребляемую приемником I²r. Если из вырабатываемой мощности вычесть потери мощности во внутреннем сопротивлении источника, получим мощность UI, отдаваемую источником во внешнюю цепь.

Мощность, отдаваемая источником в данной цепи, равна мощности, потребляемой приемником

Вырабатываемая источником мощность определяется произведением:

причем положительные направления э.д.с. и тока совпадают. Отдаваемая им мощность:

где направления напряжения и тока противоположны, а мощность, потребляемая приемником, определяется произведением:

где положительные направления тока и напряжения совпадают. Такие взаимные направления тока и э.д.с., а также тока и напряжения характерны для источников и приемников в любых электрических цепях (рис.1.15 а,б).

Отношение мощности, отдаваемой источником, к вырабатываемой им мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД) источника:

Пользуясь полученными соотношениями, установим, как будут меняться значения тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления r, т.е. в различных режимах работы источника. При отключении источника с помощью выключателя В (рис. 1.14 а) электрическая цепь будет работать в режиме холостого хода. В этом случае следует считать r равным бесконечности, при этом I=E/(r+ r₀)=0. Вследствие чего оказываются равными нулю падение напряжения Ir₀, потери мощности I² r и мощности EI и UI. Т.к. Ir₀=0, то согласно (1.17) U=U_x=E. Уменьшение сопротивления r приводит к увеличению тока I, падения напряжения Ir₀0, мощности EI. Напряжение U при этом уменьшается. О характере изменения мощности приемника можно судить, анализируя выражение:

Зависимость P_потр=f(I) представлена на рис.1.16.

Уменьшение сопротивления r, а значит увеличение тока I приводит к возрастанию Р_потр и при r = r₀ Р_потр = Р_max, что соответствует режиму согласованной нагрузки. В согласованном режиме U = 0.5E, Р_потр = 0.5, Р_выр, η = 0.5. Дальнейшее уменьшение r приводит к уменьшению Р_потр.

Для номинального режима работы характерно следующее соотношение сопротивлений r >> r₀, что обеспечивает поступление основной части вырабатываемой мощности к приемнику. При этом к.п.д. принимает значения, близкие к 1, U_ном = I_ном r >> I_ном r₀ и согласно (1.17) U близко к E.

В режиме короткого замыкания r = 0 и ток короткого замыкания оказывается намного больше номинального тока: I_к = E/r₀>>I_ном

При коротком замыкании U=I_к r=0, Р_потр=UI_к=0. Мощность Р_выр=EI_к значительно возрастает и преобразуется в теплоту в сопротивлении r₀. Последнее может привести к выходу из строя изоляции и даже к перегоранию проводов.

На внешней характеристике источника рис.1.14, б, которая подчиняется уравнению (1.17) и представляет собой прямую при E=const и r₀= const, указаны точки, соответствующие режимам холостого хода, короткого замыкания и номинальному режиму работы источника. Здесь же приведена внешняя характеристика идеального источника э.д.с. (кривая 2 на рис.1.14 б), для которого r₀=0, U=E=const.

2. Уравнения четырехполюсника

Четырехполюсником называется часть электрической цепи или схемы, содержащая два входных вывода (полюса) для подключения источника энергии и два выходных вывода для подключения нагрузки. К четырехполюсникам можно отнести различные по назначе­нию технические устройства: двухпровод­ную линию, двухобмоточный трансформатор, фильтры частот, усилители сиг­налов и др.

Теория четырехполюсников устанавливает связь между режимными па­раметрами на входе (U ₁, I ₁) и режимными параметрами на его выходе (U ₂, I ₂), при этом процессы, про­исходящие внутри четырехполюсника, не рассматрива­ются. Таким образом, единая теория четырехполюсника позволяет анализиро­вать различные по структуре и назначению элек­трические цепи, которые могут быть отнесены к классу четырехполюсников.

Если четырехполюсник не содержит внутри себя источников энергии, то он назы­вается пассивным (обозначается буквой П), если внутри четырехполюс­ника имеются ис­точники, то он называется активным (обозначается буквой А).

В настоящей главе анализируются пассивные линейные четырехполюс­ники. На электрических схемах четырехполюсники условно обозначаются пря­моугольником с двумя парами выводов: 1 и 1' - входные выводы, 2 и 2' - вы­ходные выводы (рис. 1). Соответст­венно напряжение и ток на входе индекси­руются цифрой 1 (U ₁, I ₁), а на выходе - цифрой 2 (U ₂, I ₂).

Установим связь между параметрами режима входа (U ₁, I ₁) и выхода (U ₂, I ₂). Для этой цели согласно теореме о компенсации заменим нагрузку Z ₂ источ­ником ЭДС Е ₂ = U ₂ = I ₂ Z ₂ и найдем токи по методу наложения от каждого ис­точника в отдельности (рис. 156а, б):

,

где Y ₁₁, Y ₂₂ – входные проводимости входа и выхода, Y ₁₂ = Y ₂₁ – взаимная проводимость между входом и выходом.

Выразим из полученных уравнений режимные параметры на входе:

,

где ; [Ом]; [См]; – комплекс­ные коэффициенты четырехполюсника.

С учетом принятых обозначений система основных уравнений четырех­полюсника получит вид:

	U 1 = A · U 2 + B · I 2 I 1 = C · U 2 + D · I 2		- система основных уравнений четырехполюсника формы А.

Уравнения четырехполюсника часто записывают в матричной форме:

или ,

где - матрица коэффициентов формы А.

Выразим соотношение между коэффициентами четырехполюсника:

A · D - B · C =1 – уравнение связи между коэффициентами. Уравнение связи показы­вает, что независимыми являются только три из четырех коэффициентов четырехполюс­ника.

Поменяем местами в схеме рис. 155 источник и приемник энергии. В новой схеме рис. 157 направления токов изменятся на противоположные.

Уравнения четырехполюсника с учетом изменения направлений токов примут вид:

Преобразуем полученную систему уравнений следующим образом. Ум­ножим члены уравнения (1) на D, члены уравнения (2) на В и вычтем почленно из 1-го уравне­ния 2-ое. В результате получим:

D · U ₁ + B · I ₁ = (A · D - B · C)· U ₂ + (B · D - B · D)· I ₂ = U ₂.

Умножим члены уравнения (1) на С, члены уравнения (2) на А и вычтем из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

C · U ₁ + A · I ₁ = (A · C - A · C)· U ₂ + (A · D - B · C)· I ₂ = I ₂

Новая система уравнений четырехполюсника получила название формы В:

	U 2 = D · U 1 + B · I 1 I 2 = C · U 1 + A · I 1		-система основных уравнений четырехполюсника формы B

Четырехполюсник называется симметричным, если перемена местами входных и выходных выводов не влияет на режим остальной цепи, частью ко­торой является четырёх­полюсник. Для симметричного четырёхполюсника А = D и A ² - B · C =1.

Кроме названных форм уравнений четырехполюсника А и В применя­ются на прак­тике еще четыре формы, а именно формы Z, Y, H и G. Структура этих уравнений приведена ниже:

	U 1 = Z 11· I 1 + Z 12· I 2 U 2 = Z 21· I 1 + Z 22· I 2		-система основных уравнений четырехполюсника формы Z.
	I 1 = Y 11· U 1 + Y 12· U 2 I 2 = Y 21· U 1 + Y 22· I 2		-система основных уравнений четырехполюсника формы Y.
	U 1 = H 11· I 1 + H 12· U 2 I 2 = H 21· I 1 + H 22· U 2		-система основных уравнений четырехполюсника формы H.
	I 1 = G 11· U 1 + G 12· I 2 U 2 = G 21· U 1 + G 22· I 2		-система основных уравнений четырехполюсника формы G.

Для уравнений формы Z, Y, H и G принята следующая ориентация токов и напряже­ний относительно выводов четырехполюсника (рис.158).

Соотношения между коэффициентами четырехполюсника различных форм приво­дятся в справочной литературе, однако их нетрудно получить, вы­полнив преобразование одной формы уравнений в другую. Например, пусть за­даны коэффициенты формы А (А, В, С, D) и требуется определить коэффици­енты формы Z (Z ₁₁, Z ₁₂, Z ₂₁, Z ₂₂). Для этого в уравне­ниях формы A изменим знак тока I ₂ и решим их относительно переменных U ₁ и U ₂:

U ₁ = A · U ₂ - B · I ₂ (1)

I ₁ = C · U ₂ - D · I ₂ (2)

Из (2) следует: .

Из (1) следует: .

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы Z, на­ходим соотношения между коэффициентами двух форм:

Задача

Определить активную и полную мощности линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжении u(t) и токе i(t):

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФГБОУ ВПО «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЗАУРАЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

Экзаменационный билет №8 Кафедра: ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Дисциплина: Теоретические основы электротехники Направления «Агроинженерия» II курс

УТВЕРЖДЕНО НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ «» 2012 г. Зав. кафедрой ____________Музафаров С. М.

Напряженность и потенциал электростатического поля.

Схемы замещения четырехполюсника.

Задача.