![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть – произвольное вероятностное пространство (
– множество элементарных событий,
–
алгебра,
– вероятность).
Определение 6.1. Числовая функция от элементарного события
называется случайной величиной, если для любого числа
.
Определение 6.2. Функцию
, (6.1)
определенную для всех , назовем функцией распределения случайной величины
.
Основные свойства функции распределения:
1. Если , то
.
2. .
3. , т.е. функция распределения непрерывна слева.
Пусть , тогда
, откуда
(6.2)
Определение 6.3. Если функция распределения случайной величины непрерывна и существует
везде, кроме, может быть, отдельных точек, то случайная величина
называется непрерывной.
Определение 6.4. Плотностью функции распределения непрерывной случайной величины называется производная функции распределения:
(6.3)
Плотность функции распределения всегда неотрицательна () и обладает следующим свойством
(6.4)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал выражается формулой:
(6.5)
Функция распределения непрерывной случайной величины выражается через ее плотность по формуле:
(6.6)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью
вычисляется по формуле:
(6.7)
Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формулам:
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Приведем некоторые часто встречающиеся на практике распределения непрерывных случайных величин и подсчитаем их числовые характеристики.
Пример 6.1. Равномерное распределение. Случайная величина имеет равномерное распределение в интервале
, если ее плотность выражается формулой:
(6.11)
Найдем .
1. Если и
2. Если то
3. Если то
.
Окончательно,
(6.11*)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Пример 6.2. Показательное распределение. Случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность выражается формулой:
(6.15)
Тогда функция распределения:
(6.16)
Математическое ожидание:
(6.17)
Дисперсия:
(6.18)
. (6.19)
Пример 6.3. Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное распределение (нормальный закон), если ее плотность выражается формулой:
, (6.20)
числа называются параметрами распределения. Если
,
, то
, (6.21)
называется табулированной функцией Лапласа, значения этой функции вычисляется по таблицам.
Для данного распределения: , а
.
Вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами
в интервалах
, выражается формулой:
. (6.22)
Задача 6.1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания, дисперсию времени ожидания и вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 минуты.
Решение. Запишем плотность функции распределения случайной величины . Согласно (6.11)
.
Среднее время ожидания равняется
мин,
.
(по формуле (6.11
) =0,4).
Задача 6.2. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной , распределенной по показательному закону со средним временем ожидания
. Найти вероятности следующих событий:
.
Решение. По условию , а по (6.17)
, поэтому
, откуда
Задача 6.3. Сколько нужно произвести независимых испытаний,
чтобы с вероятностью 0,8 событие , вероятность появления которого при одном опыте равна 0,05, наблюдалось бы не менее 5 раз?
Решение: На основании теоремы Муавра-Лапласа
Уже при -
, поэтому, заменив по условию
, получим
или
.
Используя таблицу значений функций Лапласа, находим аргумент соответствующий значению функции
. Решая уравнение
находим единственный положительный корень .
Итак, для появления события не менее пяти раз с вероятностью 0,8 необходимо произвести 133 испытания.
Задача 6.4. Рост мужчины в Уфе имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Уфе см,
см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах (145см, 205см)?
Решение: Пусть –случайная величина – рост мужчины.
Задача 6.5. Случайная величина
распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей
.
Выбрать коэффициенты и
таким образом, чтобы данное распределение соответствовало непрерывной случайной величине
.
Решение. Воспользуемся свойствами
,
откуда .
Для нахождения воспользуемся свойством плотности функции распределения
т.к.
то
Итак,
где , является функцией распределения случайной величины, распределенной по закону Коши.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!