Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

Пусть – произвольное вероятностное пространство ( – множество элементарных событий, – алгебра, – вероятность).

Определение 6.1. Числовая функция от элементарного события называется случайной величиной, если для любого числа

.

Определение 6.2. Функцию

, (6.1)

определенную для всех , назовем функцией распределения случайной величины .

Основные свойства функции распределения:

1. Если , то .

2. .

3. , т.е. функция распределения непрерывна слева.

Пусть , тогда , откуда

(6.2)

Определение 6.3. Если функция распределения случайной величины непрерывна и существует везде, кроме, может быть, отдельных точек, то случайная величина называется непрерывной.

Определение 6.4. Плотностью функции распределения непрерывной случайной величины называется производная функции распределения:

(6.3)

Плотность функции распределения всегда неотрицательна () и обладает следующим свойством

(6.4)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал выражается формулой:

(6.5)

Функция распределения непрерывной случайной величины выражается через ее плотность по формуле:

(6.6)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вычисляется по формуле:

(6.7)

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формулам:

(6.8)

(6.9)

(6.10)

Приведем некоторые часто встречающиеся на практике распределения непрерывных случайных величин и подсчитаем их числовые характеристики.

Пример 6.1. Равномерное распределение. Случайная величина имеет равномерное распределение в интервале , если ее плотность выражается формулой:

(6.11)

Найдем .

1. Если и

2. Если то

3. Если то .

Окончательно,

(6.11*)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Пример 6.2. Показательное распределение. Случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность выражается формулой:

(6.15)

Тогда функция распределения:

(6.16)

Математическое ожидание:

(6.17)

Дисперсия:

(6.18)

. (6.19)

Пример 6.3. Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное распределение (нормальный закон), если ее плотность выражается формулой:

, (6.20)

числа называются параметрами распределения. Если , , то

, (6.21)

называется табулированной функцией Лапласа, значения этой функции вычисляется по таблицам.

Для данного распределения: , а .

Вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами в интервалах , выражается формулой:

. (6.22)

Задача 6.1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания, дисперсию времени ожидания и вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 минуты.

Решение. Запишем плотность функции распределения случайной величины . Согласно (6.11)

.

Среднее время ожидания равняется

мин, .

(по формуле (6.11 ) =0,4).

Задача 6.2. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной , распределенной по показательному закону со средним временем ожидания . Найти вероятности следующих событий:

.

Решение. По условию , а по (6.17) , поэтому , откуда

Задача 6.3. Сколько нужно произвести независимых испытаний,

чтобы с вероятностью 0,8 событие , вероятность появления которого при одном опыте равна 0,05, наблюдалось бы не менее 5 раз?

Решение: На основании теоремы Муавра-Лапласа

Уже при - , поэтому, заменив по условию , получим

или

.

Используя таблицу значений функций Лапласа, находим аргумент соответствующий значению функции . Решая уравнение

находим единственный положительный корень .

Итак, для появления события не менее пяти раз с вероятностью 0,8 необходимо произвести 133 испытания.

Задача 6.4. Рост мужчины в Уфе имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Уфе см, см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах (145см, 205см)?

Решение: Пусть –случайная величина – рост мужчины.

Задача 6.5. Случайная величина распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей

.

Выбрать коэффициенты и таким образом, чтобы данное распределение соответствовало непрерывной случайной величине .

Решение. Воспользуемся свойствами

,

откуда .

Для нахождения воспользуемся свойством плотности функции распределения

т.к. то

Итак,

где , является функцией распределения случайной величины, распределенной по закону Коши.