Схема Бернулли. Теорема Пуассона

Последовательность независимых испытаний.

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о последовательности независимых испытаний, состоящая в следующем: если производится независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз, выражается формулой:

(5.1)

или, вводя :

,

где .

Формула (5.1) носит название “формула Бернулли”. Вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие наступит не менее раз, выражается формулой:

(5.2)

или то же самое

(5.3)

При решении задач из двух формул (5.2) и (5.3) выбирают ту, которая содержит меньше членов.

Задача 5.1. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три “герба”.

Решение. Обозначим через событие: в испытании появилось три “герба”. Ясно, что

.

Теперь воспользуемся формулой (4.3)

.

Задача 5.2. Испытания заключаются в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадает по три единицы.

Решение. – при подбрасывании костей выпало 3 единицы.

.

; ; .

По формуле (5.1)

.

Задача 5.3. Среди коконов некоторой партии 30 % цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более 3 цветных?

Решение. В данном случае .

.

В случае, когда число испытаний велико, а вероятность успеха мала, причем произведение имеет порядок нескольких единиц, применяют теорему Пуассона. Грубое и не всегда верное правило для применения теоремы Пуассона состоит в том, что должно быть порядка не менее нескольких десятков, а лучше сотен, а произведение должно заключаться между 0 и 10. При больших рекомендуется применять теорему Муавра–Лапласа.

Теорема 5.1. (Теорема Пуассона)

Пусть при таким образом, что , где фиксированное неотрицательное число. Тогда для любого фиксированного при

(5.4)

Задача 5.4. Пусть известно, что на выпечку 1000 сладких булочек с изюмом полагается 10000 изюмин. Найти распределение числа изюмин в какой-то случайным образом выбранной булочке.

Решение. , испытание с номером будет состоять в том, что мы определяем попала ли изюминка с номером в нашу случайно выбранную булочку (на покупку булочки в магазине можно смотреть как на случайный выбор). Так как булочек 1000, то вероятность того, что -я изюминка попала в нашу булочку, будет

.

(Конечно, в данном случае испытания не вполне независимы, так как может оказаться, что все изюмины от 1 до 10000 попали в нашу булочку, т.е. вся булочка состоит из одного изюма, однако ясно, что если тесто хорошо перемешать, то такой случай невозможен). Применяем теорему Пуассона с параметром

.

( есть среднее число изюмин, приходящихся на одну булочку).

Окончательно,

.

В частности, найдем вероятность того, что нам достанется булочка без изюмин:

.

Понятно, что задача 5.4 имеет общий характер: можно говорить не об изюминах в булочках, например, о числе бактерий в капле воды, взятой из хорошо перемешанного ведра, о количестве больных данной болезнью (неинфекционной) в определенном городском районе и т.д.

Теорему Пуассона нельзя применять, когда имеется сильная зависимость результатов отдельных испытаний. Например, количество инфекционных больных, или количество покупателей в магазине, пришедших за дефицитным товаром.