Пример 3.2. Дана функция f(х) = x, определенная на множестве рис

Дана функция f (х) = x, определенная на множестве рис. 3.11. Требуется исследовать ее на выпуклость.

Согласно п.1 замечаний 3.1 функция является выпуклой, т.к. она целиком лежит не выше отрезка, соединяющего две ее произвольные точки, но не является строго выпуклой и тем более сильно выпуклой.

f

f( x )= x

			x

Рис. 3.11. Графическая иллюстрация примера 3.2

Пример 3.3. Исследовать выпуклость функции f (x) = на множестве Е ². Матрица Гессе удовлетворяет условию при . Следуя п.3 замечаний 3.1, можно сделать вывод о сильной выпуклости функции. Одновременно она является строго выпуклой и выпуклой (п.2 замечаний 3.1).

Пример 3.4. Исследовать выпуклость функции f (x) = на множестве Е ². Матрица Гессе удовлетворяет условию при . Следуя п.3 замечаний 3.1, можно сделать вывод о сильной выпуклости функции. Одновременно она является строго выпуклой и выпуклой (п.2 замечаний 3.1).

Пример 3.5. f (x ₁, x ₂, x ₃) = 3 x ₁²+2 x ₂²+ x ₃²-2 x ₁ x ₂-2 x ₁ x ₃+2 x ₂ x ₃-6 x ₁-4 x ₂-2 x ₃

Ñ f (x ₁, x ₂, x ₃) = .

G (x ₁, x ₂, x ₃) = .

Для того чтобы показать, что функция выпуклая, проверим, является ли G положительно определенной или положительно полуопределенной матрицей. Заметим, что:

1) G – симметрическая матрица;

2) все диагональные элементы G положительны;

3) ведущие главные определители равны | G | > 0, = 20 > 0,

| G | =16> 0.

Таким образом, G – положительная определенная матрица, откуда следует, что f – выпуклая функция. (Более точно, если G – положительна определенная матрица, то f называется строго выпуклой функцией и обладает единственной точкой минимума.)