Монотонные функции

Функция f (x) является монотонной (рис. 3.3) (как при возрастании, так и убывании), если для двух произвольных точек x ₁ и x ₂, таких, что x ₁ < x ₂ выполняется одно из следующих неравенств: f (x ₁) £ f (x ₂) (монотонно возрастающая функция) f (x ₁) ³ f (x ₂) (монотонно убывающая функция).

Рис. 3.3. К понятию монотонной функции

На рис. 3.4. изображен график функции, которая монотонно убывает при x £ 0 и монотонно возрастает при x ³ 0. Функция достигает своего минимума в точке x = x ^* (начале координат) и монотонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называются унимодальными. Заметим, что унимодальная функция вовсе не должна быть гладкой (рис. 3.4, а) и даже непрерывной (рис. 3.4,б), она может быть изломанной (недифференцируемой), разрывной (рис. 3.4, в), дискретной (рис. 3.4, г) и даже может в некоторых интервалах не быть определенной (рис. 3.4, д).

Рис. 3.4. Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная,

г) дискретная, д) произвольная

Итак, функция f (x) называется унимодальной на отрезке [ a; b ], если она непрерывна на [ a; b ] и существуют числа a и b, a £ a £b £ b, такие, что:

1. если a < a, то на отрезке [ a; a] f (x) монотонно убывает;

2. если b > b то на отрезке[b; b ] f (x) монотонно возрастает;

3. при x Î[a; b] f (x) = f ^*= f (x).

Возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков [ a;a], [a;b], [b; b ] (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции

Множество функций, унимодальных на отрезке [ a; b ] будем обозначать Q [ a; b ]. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.