Интегрирование по частям, замена переменной

Интегрирование по частям

Пусть надо вычислить интеграл вида ∫ U (x) · v (x) dx где v (x) имеет очевидную первообразную V (x).

Тогда ∫ U (x) · v (x) dx = ∫ U (x) · V '(x) dx = ∫ U (x) dV (x).

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v (x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V (x).

Если функция U (x) выражается через функцию V (x) по некоторой формуле U (x) = w (V (x)), то ∫ U (x) dV (x) = ∫ w (V (x)) dV (x) = ∫ w (t) dt,

где t = V (x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла ∫ w (t) dt

В нем функция t = V (x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной.

Если функция U (x) не выражается через функцию V (x) по некоторой формуле U (x) = w (V (x)), то может оказаться полезным преобразование, называемое интегрированием по частям. Оно определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции U (x) и V (x) дифференцируемы на некотором интервале и на этом интервале существует интеграл ∫ V (x) U '(x) dx.

Тогда существует интеграл ∫ U (x) V '(x) dx и справедлива формула ∫ U (x) V '(x) dx = U (x) V (x) − ∫ U '(x) V (x) dx. (1)

Замена переменной.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

. (6.1)

Во втором случае:

. (6.2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла.

Билет 3