Поле комплексных чисел. Различные формы записи комплексных чисел. Формула Муавра

Понятие комплексного числа.

Опр: Комплексным числом – наз. упорядоченная пара действительных чисел z = (a,b).Число а – действительная часть Re(z). Число b – мнимая часть Im(z).

Суммой 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁+z₂= (a₁+a₂,b₁+b₂).

Разностью 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁–z₂=

(a₁– a₂,b₁– b₂).

Произведением комплексного числа z₁ и числа α есть комплексное число z = α*z₁ = (α*a, α*b).

Произведением 2-х комплексных чисел z₁(a₁,b₁) и z₂(a₂,b₂) есть комплексное число z =z₁*z₂= (a₁*a₂ – b₁*b₂, a₁*b₂ +b₁*a₂).

Свойства операций.

1. Дистрибутивность: (z₁ ± z₂)*z₃=z₁*z₃ ± z₂*z₃.

2. Коммутативность произведения: z₁*z₂ = z₂*z₁.

3. Ассоциативность (z₁*z₂)*z₃=z₁*(z₃*z₂).

4. (1,0)* z = z.

5. (0,0) + z = z.

6. (0,0)* z = 0.

Рассмотрим комплексное число (a,0) каждому такому числу соответствует одно действительное число a. И выполняется:

a) (a,0)+(b,0)=(a+b,0);

b) (a,0)*(b,0)=(a*b,0).

Число вида (0,1) наз. мнимой единицей (і).

Всякое комплексное число z = (a,b) можно представить как z = (a,0)+(0,b)=a+b*(0,1)=

=a+ i b алгебраическая форма записи комплексного числа.

z =a– i b число сопряженное комплексному числу z =(a,b)=a+ i b.

Комплексное число z =a+ i b. удобно изображать точкой плоскости в декартовой системе координат.

Угол на который необходимо повернуть вокруг центра координат вектор длиной (), расположенном в исходном положении, вдоль оси X и имеющий начало в центре координат, чтобы конец вектора оказался в точке (a,b) – наз. аргументом комплексного числа Arg (z).

Arg (z) = φ, φ±2π, φ±4π,…

φ = arctg(b/a); zÎI II или φ = arctg(b/a)±π; zÎI IV.

Arg (z) определяется не однозначно, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Среди ∞ мн.-ва значений Arg (z) есть одно (которое обозначаем аrg (z)) главное значение –π£аrg (z)£π.

Arg (z) и аrg (z) связаны соотношением:

Arg (z)= аrg (z)+2πk, kÎZ.

Пусть φ одно из возможных значений аргумента комплексного числа. Тогда:

Re(z) =a=|z|cosφ;

Im(z)=b=|z|sinφ.

z=|z|(cosφ+ i sinφ) тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Алгебраические действия над комплексными числами.

(i)²= –1;

z₁=a+ i b;z₂=c+ i d.

1. z₁+z₂=(a+c)+ i (b+c);

2. z₁–z₂=(a-c)+ i (b-d);

3. z₁*z₂=(a+ i b)(c+ i d)=ac+ i bd+ i ad+ i ²db=(ac–db)+ i (ad+bc);

4. z₁/z₂=((a+ i b)/(c+ i d))*(c– i d)= ((a+ i b)*(c– i d))/(c²–(i d)²) = ((ac+db)+ i (ad–bc))/(c²+d²) =

(ca+bd)/(c²+d²)+ i (ad-bc)/ (c²+d²).

Произведение числа в тригонометрическом виде:

|z₁|=r; |z₂|=t;

z₁=|z₁|(cosφ+ i sinφ);

z₂=|z₂|(cosψ+ i sinψ).

1. z₁*z₂ = |z₁||z₂|(cosψ+ i sinψ)(cosφ+ i sinφ)=rt(cosφcosψ+icosφsinψ+isinφcosψ-sinφsinψ) = rt(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)).

2. z₁/z₂ =|z₁|/|z₂|(cosψ+ i sinψ)/(cosφ+ i sinφ)=r/t(cosψ+ i sinψ)(cosφ– i sinφ)/((cosφ+ i sinφ)(cosφ– i sinφ))= rt(cos(φ–ψ)+isin(φ–ψ)).

Степень:

z ⁿ =r ⁿ (cos n φ+isin n φ) формула Муавра.

Извлечение корня:

z=r(cosφ+ i sinφ).

Под корнем n-й степени из числа z будем понимать любое комплексное число ρ(cosδ+ i sinδ) которое в n-й степени даст число z.

Преобразуем последнее неравенство с помощью формулы Муавра.

ρ ⁿ (cos n δ+ i sin n δ)= r(cosφ+ i sinφ).

ρ ⁿ= r; n δ=φ+2πk, kÎZ.

ρ= ; δ=(φ+2πk)/ n.

= (cos((φ+2πk)/ n)+ i sin((φ+2πk)/ n)).