![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим линейный оператор A:C®C (линейное преобразование пространства C). Пусть векторы образуют базис пространства C. Подействуем оператором А на базисные векторы. В результате получим векторы
. Так как вектор
, то его можно разложить по базису:
.
В результате получаем матрицу:
,
i- ый столбец которой есть вектор-столбец из координат вектора в базисе
. Матрица
называется матрицей линейного оператора
в заданном базисе
.
Пусть теперь - произвольный вектор из C, а
- его образ при линейном преобразовании А. Тогда координаты векторов
и
связаны соотношением:
.
Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к преобразованию его координат с помощью матрицы линейного оператора. Задание матрицы линейного оператора является наиболее удобным способом определения оператора действующего в конечномерном пространстве.
Пусть С- матрица перехода от базиса к базису
,а
и
- матрицы оператора в первом и втором базисе соответственно. Тогда имеют место соотношения:
.
Матрицы и
, связанные между собой данными соотношениями, называются подобными матрицами.
Действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами. Если А и В линейные операторы, действующие в Х и ,
- матрицы этих операторов в одном и том же базисе, то:
1. Оператору А+В соответствует матрица .
2. Оператору соответствует матрица
.
3. Оператору АВ соответствует матрица .
4.Если оператор В=А-1 , то матрица .
Пример 1. Вычислим матрицу тождественного оператора Е. По определению . Пусть
базис в Х. Тогда вектор
. Поэтому тождественному оператору соответствует единичная матрица:
.
Пример 2. Покажем, что поворот плоскости на угол a вокруг начала координат является линейным преобразованием, и найдем матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе. Предполагается, что положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего базисный вектор во второй вектор базиса
. Покажем, во-первых, что данный оператор является линейным. Пусть
- радиус-вектор произвольной точки плоскости. Обозначим его координаты
, модуль через r, угол с базисным вектором
через j. Тогда
.
Образ вектора вектор
будет равен
Рассмотрим теперь сумму двух векторов
.
Тогда образ суммы
т. е. выполняется свойство аддитивности линейного оператора. Аналогично можно проверить выполнение свойства однородности . Найдем теперь матрицу оператора в базисе
,
. Так как базис ортонормированный, то
и
. Тогда образы базисных векторов равны
и
. Откуда матрица оператора имеет вид
.
Пример 3. Линейный оператор А в базисе ,
,
,
имеет матрицу
.
Необходимо найти матрицу этого оператора в базисе ,
,
,
.
Векторы двух базисов «старого» и «нового»
связаны соотношениями
. Поэтому матрица перехода С от базиса
к базису
имеет вид:
.
Тогда матрица оператора А в «новом» базисе
.
Задачи
1. Пусть А и В- линейные операторы, действующие из Х в U. Показать, что оператор С=А+В является линейным.
2. Показать, что сложение операторов обладает следующими свойствами:
А+В=В+А,
(А+В)+С=А+(В+С).
3. Пусть А и В- линейные операторы. Показать, что оператор С=АВ является линейным.
4. Выяснить, какие из следующих операторов А, определенных путем задания координат вектора как функций координат вектора
, являются линейными, и найти их матрицы в том же базисе, в котором заданы координаты вектора
:
а) b)
с)
5. Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы соответственно в
и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты всех векторов:
6. Линейное преобразование j в базисе ,
,
имеет матрицу
Найти его матрицу в базисе ,
,
.
7. Пусть оператор А в базисе имеет матрицу
, оператор В в базисе
имеет матрицу
. Найти матрицу оператора А+В в базисе
.
8. Доказать, что любое линейное преобразование А одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. .
9. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе поменять местами векторы
и
?
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 1980 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!