Определение оператора. Действия с операторами

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.

Определение оператора. Действия с операторами.

Определение 1. Пусть C и U - линейные пространства, заданные над одним и тем же полем R. Отображение A: C ® U, ставящее в соответствие каждому элементу C некоторый элемент U, называется оператором, действующим из C в U. При этом используются обозначения или .

Определение 2. Оператор A, действующий из C в U, называется линейным, если и выполняются соотношения

1. -свойство аддитивности оператора.

2. - свойство однородности оператора.

Если пространство U совпадает с C, то линейный оператор A:C®C называют линейным преобразованием пространства C.

Пример 1. Поставим в соответствие каждому вектору C этот же вектор .Получим линейный оператор E: C®C, который называется тождественным или единичным оператором.

Пример 2. Пусть . Пусть - ортонормированный базис в , а - его расширение до базиса в . Поставим в соответствие каждому вектору вектор , определив его следующим образом . Полученное отображение – линейный оператор, который называется оператором проектирования на подпространство.

Определение 3. Два оператора и называются равными, если .

Определение 4. Оператор называется суммой операторов и (), если .

Определение 5. Оператор называется произведением оператора на число , если .

Определение 6. Оператор называется произведением операторов и (С=ВА), если .