Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как было рассмотрено в одномерных колебаниях.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат qi (i = 1, 2,.,., s) имеет минимум при q i= q i0. Вводя малые смещения

xi = q i – q i0 (3,1)

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

(3, 2)

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kik и kki входят в (3, 2) умноженными на одну и ту же величину xi xk,то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

полагаем в коэффициентах q i = q i0 и, обозначая постоянные aik(qo) посредством m ik,получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

(3,3)

Коэффициенты m _lk тоже можно всегда считать симметричными по индексам

m ik = m ki

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

(3, 4)

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i;учитывая при этом симметричность коэффициентов m ik и k ik, получим:

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

(3,5)

Они представляют собой систему s(i = l, 2, …, s)линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk (t)в виде

(3,6)

где А k — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные А k:

(3,7)

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

(3,8)

Уравнение (3,8)—так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω². Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω² a,

а =1, 2, …, s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ω _а называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (3,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат хk (3,6) (а с ними и скоростей x_k)экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E=U+T системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (3,7) на и просуммировав затем по i,получим:

откуда

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов k ik и m ik,действительно,

Они также существенно положительны, а потому положительно и ω².

После того как частоты ω _а найдены, подставляя каждое из них в уравнения (3,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Аk. Если все корни ω _а характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты A k пропорциональны минорам определителя (3,8),в котором ω заменена соответствующим значением ω _а, обозначим эти миноры через ∆ ka. Частное решение системы дифференциальных уравнений (3,5) имеет, следовательно, вид

где С_а — произвольная (комплексная) постоянная.

Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

(3,9)

Где мы ввели обозначение

(3,10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний

Θ1, Θ2, …, Θs с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (3,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (3,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θ_а, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ1, Θ2, …, Θs через координаты x1, x2,..., x _s. Следовательно, величины Θ_а можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты Θ_а удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

(3,11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ω _а, т. е. имеет вид

(3,12)

где т_а — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (3,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (3,3) и потенциальная (3,2) — одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь Q_a) равенствами

(3.13)

Тогда

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (3,9), (3,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты ∆ k_а уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ω _а)входят в виде одинаково преобразующихся сумм можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y,z), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия

(т — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей.

Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

(3,14)

и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами

В частном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) эти три частоты совпадают.

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

(3,15)

где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат х k нормальные координаты, получим:

(3.16)

где введено обозначение

Соответственно уравнения движения

будут содержать лишь по одной неизвестной функции Q a (t).