Вынужденные колебания. Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденнымив отличие от

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией ½ kx² система обладает еще потенциальной энергией U_e(x,t),связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим:

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Во втором члене — dUe/dx есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член — xF(t), так что функция Лагранжа системы будет:

(2,1)

Соответствующее уравнение движения есть

или

(2,2)

где мы снова ввели частоту со свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: х = х₀ + х 1, где х₀ — общее решение однородного уравнения, a х 1 — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае х₀ представляет собой рассмотренные свободные колебания.

Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой у:

F (f) = fcos (yt + β). (2,3)

Частный интеграл уравнения (2,2) ищем в виде х 1 = b cos (yt+β) стем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: b=f/m(ω²-y²); прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде

(2,4)

Произвольные постоянные а и α определяются из начальных условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей силы у.

Решение (2,4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение,(2,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде

При у → ω и второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:

(2,5)

Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда

у = ω + ε, где ε — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как

(2,6)

Так как величина мало меняется в течение периода 2π/ω множителя , то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой

Обозначив последнюю через С, имеем:

Представив А и В соответственно в виде и получим:

(2,7)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε, меняясь между двумя пределами

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (2,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t), Это легко сделать, переписав его предварительно в виде

или

(2,8)

где введена комплексная величина

(2,9)

Уравнение (2,8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы

с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде

и для функции A(t) получаем уравнение

Интегрируя его, получим решение уравнения (2,8) в виде

(2, 10)

где постоянная интегрирования ε0 представляет собой значение ε в момент времени t = 0. Это и есть искомое общее решение; функция x(t) дается мнимой частью выражения (2,10).

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от - ∞ до + ∞), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (2,10) (с нижним пределом интегрирования - ∞ вместо нуля и с

ξ (-∞) = 0) имеем при t → ∞:

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выражением

(2,11)

Подставив сюда | ξ (∞) |², получим искомую передачу энергии

в виде

(2,12)

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1/ω), то можно положить .

Тогда

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс ∫ F dt, не успев за это время произвести заметного смещения.