Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний. Резонанс. Переменный ток

U – источник переменной ЭДС, изменяющийся по закону:

U=UmCos wt

L(d²q/dt²)+R(dq/dt)+q/C= UmCos wt (:L)

d²q/dt²+(R/L)(dq/dt)+q/(LC)= (UmCos wt)/L

Фаза колебаний вынуждающей силы может отличаться от фазы собственных колебаний в контуре, поэтому изменение заряда в контуре будет происходить по закону, отличному от уравнения свободных колебаний:

q(t)=qwCos(wt-φ0), где φ0 – начальная фаза колебаний

Начальная фаза колебаний φ0 зависит от соотношения частот собственных колебаний контура w0 и частоты вынуждающей силы w.

φ0 можно определить из соотношения: tg φ0=R/((1/wC) – wL)

Амплитуда изменения заряда: qw=Um/(w√(R²+(wL-1/LC)²), где Um – амплитуда напряжения

Амплитудное значение силы тока равно: Im=wqw= Um/√(R²+(wL-1/LC)²)

Закон Ома для постоянного тока: I=U/R, RL=wL, Rc=1/wC

Следовательно, величина в знаменателе имеет смысл полного сопротивления цепи:

Z=√(R²+(wL-1/LC)²)

Переменный ток – установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащий резистор, конденсатор и катушку

U=UmCos wt – переменное напряжение, приложенное к цепи

Амплитуда приложенного напряжения (метод векторных диаграмм)

Um=UR+UL+UC=ImZ

UR=ImR; UL=ImwL; UC=Im/wC

Um²= UR²+(UL- UC)²= Im²R²+ Im²(wL-1/wC)²= Im²[ R²+(wL-1/wC)²]

Im= Um/√(R²+(wL-1/LC)²)= Um/Z – закон Ома где

Z=√(R²+(wL-1/LC)²) – полное сопротивление цепи

Если напряжение в цепи изменяется по закону U=UmCos wt, то в цепи течет ток I=ImCos(wt-φ), где φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока.

Из векторной диаграммы: tg φ=(UL- UC)/ UR=(wL-1/wC)/R

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.